微分与不定积分

单调函数的可微性.
定理1(Lebesgue). 设\(f(x)\)是[a,b]上的递增实值函数,则
(1)\(f(x)\)的不可微点集为零测集,即\(f(x)\)几乎处处可微;(2)\[\int_a^b f'(x)dx \le f(b)-f(a).\]
定理2(Fubini逐项微分定理) 设\(f_n(x)\)是[a,b]上的递增函数列,且\(\sum_n f_n(x)\)收敛,则\[\frac{d}{dx}(\sum_n f_n(x) ) = \sum_n \frac{d}{dx} f_n(x),a.e. x\in [a,b].\]

有界变差函数
定义.
(1) 设\(f(x)\)是[a,b]上的实值函数,对于[a,b]的划分\(\Delta \), 及\[v_{\Delta} = \sum_{i=1}^n |f(x_i) - f(x_{i+1})|,\]称为\(f(x)\)在[a,b]的变差。
(2) 令\[\bigvee_a^b (f) = \sup \{v_\Delta\}.\]称为\(f(x)\)在[a,b]上的全变差。
(3) 如果\(\bigvee_a^b (f) \)有限,称\(f(x)\)是[a,b]上的有界变差函数. [a,b]上有界变差函数全体记作\(BV([a,b]).\)

Jordan分解定理. \(f(x) \in BV([a,b]) \Leftrightarrow f(x)\)可以分解为两个递增实值函数的差。

不定积分的微分
定义.对于\(f\in L(R^d)\), 定义最大值函数\[f^*(x) =\sup_{x\in B} \frac{1}{m(B)}\int_B|f(y)|dy,\]这里B取遍所有开球。
定理2. 关于最大值函数的一些性质(由定义,f可积):
(1) \(f^*\)可测;
(2) \(f^*(x)\)几乎处处有限;
(3) 令\(A=3^d.\) \(\forall \alpha >0,\)成立\[m(\{f*(x) > \alpha\})\le \frac{A}{\alpha}\left\|F\right\|_{L^1(R^d)}.\]

定理3. 如果\(f\in L^1_{loc}(R^d).\)则\[\lim_{m(B)\to 0,x\in B}\frac{1}{m(B)}\int_B f(y) dy = f(x),\ a.e. x.\]
推论. 对于d=1的情况,若\(f\in L([a,b]),F(x)=\int_a^x f(t)dt,\)我们可以推出\[F'(x) = f(x),a.e.x\in [a,b].\]

定义. Lebesgue点
(1) 对于可测集E与任一点x,x属于E的Lebesgue点集当且仅当\[\lim_{m(B)\to 0,x\in B} \frac{m(B\cap E)}{m(B)} = 1.\]
(2) 如果\(f\in L^1_{loc}(R^d).f\)的Lebesgue点集由满足以下条件的点组成:\(f(x)\)有限且\[\lim_{m(B)\to 0,x\in B} \frac{1}{m(B)}\int_B|f(y)-f(x)|dy = 0.\]
推论.
(1) 如果E可测,则E中几乎处处都是E的Lebesgue点,E外几乎处处都不是E的Lebesgue点。
(2) 如果\(f(x)\)局部可积,则几乎处处都是f的Lebesgue点。

绝对连续函数
定义. 如果定义在[a,b]上的函数F满足:\(\forall \epsilon > 0,\exists \delta >0,\)\[\sum_{k=1}^N (b_k-a_k) < \delta \Rightarrow \sum_{k=1}^N |F(b_k)-F(a_k)|< \epsilon. \]
定理4. 如果F在[a,b]绝对连续,则\(F'(x)\)几乎处处存在。
定理5. 如果绝对连续函数F的导数几乎处处为0,则F为常数。

定理6. F在[a,b]绝对连续,则F'几乎处处存在且可积,\[F(x)-F(a) = \int_a^x f'(y)dy,\forall a\le x \le b.\]
定理7. 如果\(f(x)\)在[a,b]上可积,则存在绝对连续的函数F使得\(F'(x) = f(x),a.e.x.\)
特别地,F可以取\(F(x) = \int_a^x f(y)dy.\)

    所属分类:实变函数     发表于2021-12-18