随机事件与概率

概率的公理化定义
设\(\Omega\)是一非空集合,称作基本事件空间,\(F\subset P(\Omega)\)是一族子集,\(P:F\to R\)是一实值函数,满足:
1. \(\Omega \in F\);
2. F中元素在补集和可数并集运算下封闭(形成一 \(\sigma-\)代数);
3. \(P(A)\ge 0,A\in F\);
4. \(P(\Omega) =1 \);
5. 对于两两不交的子集列\(A_n\in F\),有\[P(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n) = \sum_{n=1}^{\infty} P(A_n).\]称P是F上的测度概率(简称概率),\(P(A)\)为事件A的概率,\((\Omega,F,P)\)是概率空间。

条件概率:在事件B发生的条件下,事件A发生的概率,记作\(P(A|B)\).
\(P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}.\)
一般乘法公式:\[P(A_1\cdots A_n) = P(A_1)P(A_2|A_1)\cdots P(A_n|A_1\cdots A_{n-1}).\]

独立事件:称事件\(A_1,\cdots ,A_n\)是相互独立的,若\[\forall n\ge k \ge 2, P(A_{i_1}\cdots P_{i_k})=\prod_{j=1}^k P(A_{i_j}).\] 这等价于\(P(A_j|A_{i_1}\cdots A_{i_m})=P(A_j)\)总成立。

Jordan公式:\[P(\bigcup_{i=1}^n A_i ) = \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}S_k,\]\[S_k = \sum_{i_1< i_2 < \cdots < i_k} P(A_{i_1}\cdots A_{i_k}).\]

设\(B_1,B_2,\cdots,B_n\)是完备事件组,即两两不相容且\(B_1\cup\cdots\cup B_n\)是必然事件。
全概公式:\(P(A) = \sum P(A|B_i)P(B_i)\).
逆概公式:\[P(B_k | A) = \frac{P(B_k)P(A|B_k)}{\sum P(B_i)P(A|B_i)}.\]
独立实验序列
设每次试验事件A发生的概率是p,则在n次独立试验中,A恰好发生k次的概率为\(C_n^k p^k (1-p)^{n-k}\).

    所属分类:概率与统计     发表于2022-01-20