偏导数与全微分存在性之间的关系

1. 如果\(f(x)\)在区域内一点\(x\in D\)可微，则一定在这点连续，且各个方向的偏导数都存在。若\(df(x_0)=\sum_{i=1}^n A_i\Delta x_i\), 则\(\frac{\partial f(x_0)}{\partial x_i}=A_i.\) 但可微性不能推出偏导数在该点连续。

2. 如果已知各个方向偏导数都存在，不能得到函数在该点连续或可微的结论。但若已知\(f(x)\)在\(x_0\in D,U(x_0,\delta_0)\)内的各个偏导数存在，且都在\(x_0\)处连续，则\(f(x)\)在\(x_0\)处可微。

3. 如果\(f(x)\)在\(x_0\in D\)处可微，则\(f(x)\)沿方向\(v=(\cos\theta_1 ,\cdots , \cos \theta_n )\)的方向导数为\[\frac{\partial f(x_0)}{\partial v}=\sum_{i=1}^n \frac{\partial f(x_0)}{\partial x_i}\cos\theta_i.\]

4. 如果\(f''_{kj}(x),f''_{jk}(x)\)在某点\(x_0\)处均存在且连续，则\[f''_{kj}(x_0)=f''_{jk}(x_0).\]

    所属分类：数学分析     发表于2022-01-20