解的存在和唯一性

Gronwall不等式
设\(f(x),g(x)\in C[a,b], g(x)\ge 0\),\(c\)为常数，满足\[f(x)\le c+\int_a^x g(s)f(s)ds,\]则\[f(x)\le c\cdot \exp\{\int_a^x g(s)ds\}.\]

证明：令\(\Phi(x) = \int_a^x g(s)f(s)ds\)，则\[\Phi'(x) = g(x)f(x) \le g(x)\cdot (c+\Phi(x)),\]
利用初等积分法可知\[\exp\{-\int_a^x g(s)ds\}\Phi(x) \le \int_a^x c\cdot g(s) \exp\{-\int_a^s g(t)dt\}ds.\]整理即得。

一致有界与等度连续, Ascoli-Arzela引理
设\(A\)为函数族\(\{f_\alpha\}\)的指标集且为无限集，\(I\subseteq R\)， 如果存在\(M>0\)，使得\[|f_\alpha (x) |\le M, \forall \alpha\in A, \forall x\in I\]则称\(\{f_\alpha\}_{\alpha_\in A}\)在I上一致有界。

如果\(\forall \epsilon>0, \exists \delta > 0, s.t.\forall x,y\in I, |x-y|<\delta, \)满足\[|f_\alpha(x) - f_\alpha(y)|<\epsilon ,\forall \alpha\in A\]称\(\{f_\alpha\}_{\alpha_\in A}\)在I上等度连续。

Ascoli-Arzela引理：
设A为可数集，如果\(\{f_\alpha\}_{\alpha\in A}\)在\([a,b]\)上一致有界且等度连续，则存在\([a,b]\)上一致收敛的子序列。

Picard定理
称函数\(f(x,y)\)在区域G上对y满足Lipschitz条件，如果存在常数L，使得对于任意的\((x,y_1),(x,y_2)\in G\)，有\[|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\le L|y_1-y_2|\]
Picard定理：假设\(f(x,y)\)在闭区域D上连续，对\(y\)满足Lipschitz脚尖，则微分方程\[\frac{dy}{dx}=f(x,y),\quad y(x_0)=y_0\]的解在\(|x-x_0|\le h\)上存在且唯一，其中\[h=\min(a,\frac b M), M = \max_{(x,y)} |f(x,y)|.\]
证明：构造Cauchy序列：\[y_0(x) = y_0,\quad y_n(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(s, y_{n-1}(s))ds\]并证明其一致收敛到方程的解。

Peano定理
假设\(f(x,y)\in C(D),D=\{|x-x_0|\le a, |y-y_0|\le b\}\),则上述微分方程在区间\(|x-x_0|\le h\)上至少有一个解，其中\(h=\min(a,\frac b M), M = \max_{(x,y)} |f(x,y)|.\)

解的延伸
延伸定理：
考虑Cauchy问题\[y'=f(x,y), y(x_0)=y_0\]其中\(f(x)\in C(G)\)，其任意解曲线\(\Gamma\)均可延伸至G的边界。

比较定理
第一比较定理：设\( f(x,y), F(x,y)\in C(G), f(x,y) < F(x,y), \forall x,y\in G\). 又设\(y=\phi(x), y\in \Phi(x)\)在区间\((a,b)\)上分别是\(y'=\{f,F\}, y(x_0)=y_0\)的解，则\[\begin{cases} \phi(x) < \Phi(x), & x\in (x_0, b)\\ \phi(x) > \Phi(x), & x\in (a, x_0)\end{cases}\]
一个应用：考虑\(y'=f(x,y), D=(a,b)\times \mathbb R\), 满足\[|f(x,y)|\le A(x)|y|+B(x), A,B\ge 0, \in C(a,b)\]则方程的每个解存在区间均为\( (a,b)\).

最大解和最小解
如果初值问题\(y'=f(x,y), y(x_0)=y_0\)在区间\(|x-x_0|\le a\)上有2个解\(\Phi(x), \psi(x)\)，使得对于该初值问题的任意解\(y(x)\)，有\(\Psi(x)\le y(x)\le \Phi(x), |x-x_0|\le a,\) 则分别称\(\Psi(x), \Phi(x)\)为该问题在\(|x-x_0|\le a\)上的最小解和最大解。

最大解和最小解的存在性：
存在正数\(\tau\)，使得\(|x-x_0|\le \tau\)上最大解和最小解存在。

    所属分类：常微分方程     发表于2023-03-28