向量运算的常用定理与恒等式

定理1(向量分解定理i):如果\( \vec{a},\vec{b}\)不共线,则\(\vec{a},\vec{b},\vec{c} \)共面的充要条件是 \(\vec{c} \) 可对\(\vec{a},\vec{b}\)分解(且此时分解式唯一)。

定理2(向量分解定理ii):若\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\)不共面,则\(\forall \vec{u}\),对\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\)存在唯一分解。

命题3:\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\)共面的充要条件是存在不全为0的\( r,s,t\),使得\[ r\vec{a}+s\vec{b}+t\vec{c} = 0.\]

命题4:任意四点\(O,A,B,C\),\(A,B,C\)共线当且仅当 \(\exists r,s,t\), \[r+s+t=0 \land r\overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{OB}+t\overrightarrow{OC}=0 .\]

推论5:若\( O,A,B\)不共线,则\(A,B,C\)共线的充要条件是 \(\exists s,t \),\[ s+t = 1 \land \overrightarrow{OC}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}. \]

命题6:简单比的几个恒等式
i.\( \overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB} \Rightarrow (A,B,C) = \frac{\lambda}{1-\lambda}.\)
ii.\( (A,B,C)(B,A,C)=1. \)
iii.\( (A,B,C) + (A,C,B)=-1.\)

命题7:用行列式解决共线、共面问题
i. \( \vec{a}(x_1,x_2,x_3),\vec{b}(y_1,y_2,y_3),\vec{c}(z_1,z_2,z_3)\)共面当且仅当 \[ \begin{vmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \\ z_1 & z_2 & z_3 \end{vmatrix}=0. \] ii. \( \vec{a}(x_1,x_2),\vec{b}(y_1,y_2)\)共线当且仅当 \[ \begin{vmatrix} x_1 & x_2\\ y_1 & y_2 \end{vmatrix}=0. \] iii. \( \vec{a}(x_1,x_2,x_3),\vec{b}(y_1,y_2,y_3)\)共线当且仅当 \[ \begin{vmatrix} x_1 & x_2\\ y_1 & y_2 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} x_2 & x_3\\ y_2 & y_3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} x_3 & x_1\\ y_3 & y_1 \end{vmatrix}=0. \] iv. \(A(a_1,a_2),B(b_1,b_2),C(c_1,c_2)\)共面当且仅当 \[ \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=0. \]

    所属分类:几何学     发表于2021-09-17