群的定义与基本性质

·群的定义
设\(G \ne \varnothing\)，在\(G\)上定义一个二元代数运算（称为乘法），记为\(ab(a,b \in G)\)，且满足：
i. \( (ab)c = a(bc) ,\forall a,b,c \in G\)（结合律）
ii. \(\exists e \in G\ s.t.\ ea=a,\forall a \in G\)（含幺元）
iii. \(\forall a \in G, \exists b \in G\ s.t.\ ba=e.\)（含逆元）
则称由G和这个乘法运算组成的系统为群，简记为G.

·群的一些基本性质

i.逆元对称性：\(ba=e \Rightarrow ab=e.\)

ii. \(ae=e,\forall a \in G.\)

iii.单位元e唯一存在.

iv.逆元唯一存在：\(\forall a \in G, \exists ! b \in G\ s.t.\ ab=ba=e.\)

v. 在G中关于x的方程\(ax=b(or\ xa=b)\)有唯一解.

·子群
如果群G的非空子集H在乘法运算下封闭，且也构成一个群，则称H是G的子群，记作\(H\le G.\)
定理：\(H \subset G. H\le G \Leftrightarrow ab_{-1}\in H, \forall a,b \in H. \)

·陪集
\(H \le G,a\in G. \)
左陪集：\(aH = \{ ah|h\in H \} \)
右陪集：\(Ha = \{ ha|h\in H \} \)
关于H的两个陪集要么相等，要么不交，且每个有限的陪集中元素个数相等。因此，G可以分解为若干个关于H的陪集的不交并。由此得到拉格朗日定理：
\(H \le G, \)则|H|是|G|的因子.
特别的，\(\{a^m|m\in Z\}\)称为由a生成的子群。若G有限，可得到一推论：
a的阶是|G|的因子，且\(a^{|G|}=e.\)

·群的同构
设G,G'是2个群，若存在一一映射\(\sigma:G\rightarrow G'\)，满足 \[ \sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b)\] 则称G同构于G',记作\(G \cong G'.\)
Cayley定理：任一群都同构于某一集合上的某个变换群.（事实上，取G的左/右正则表示群即可.）

    所属分类：抽象代数     发表于2021-09-19