群的同态，正规子群与商群

·群的同态
若存在两群之间的映射\(\sigma:G \rightarrow G' \)，满足\[\sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b) \] 则称G与G'同态。
若\(\sigma\)是单射，则称为单一同态或嵌入映射；若为满射则称为满同态。将G中元素应为G‘’中单位元的元素称为\(\sigma\)的核，或\(Ker(\sigma)\).

·正规子群
如果\( H \le G , \forall a \in G, aH=Ha,\)则称H为正规子群，记作\(H \trianglelefteq G\).
等价定义i：\(aha^{-1} \in H ,\forall a \in G,h \in H.\)
等价定义ii：任意两个左（右）陪集之积仍为左（右）陪集。
特别的，同态映射的核一定为正规子群。

·商群
设\(H \trianglelefteq G\)，则\(G/H\)在陪集的乘法下构成一群，称为G对正规子群H的商群。

·群同态基本定理
\(G' = \sigma (G), N=Ker(\sigma).\)则 \[ G/N \cong G'. \]

    所属分类：抽象代数     发表于2021-09-19