环的理想与商环、同态定理

类似群中正规子群的概念,为使环的陪集能够形成一个环,引入理想的概念。

定义:设\(R\)是一个环,\(I \subset R, I_{+} ≤ L_{+}\),满足: \[\forall a \in I , r \in R, ra \in I , ar \in I. \]则称\(I\)为环\(R\)的一个理想。
如果只满足\(ra \in I\)则称为左理想;
如果只满足\(ar \in I\)则称为右理想。

设I是R的理想,则R对于I在陪集运算下形成一个环\(R/I\),称为R对于I的商环。
对应的,有环同态基本定理:设\(\sigma:L \rightarrow L'\)为(满)同态,则 \[ L/Ker(\sigma ) \cong L'. \]

    所属分类:抽象代数     发表于2021-09-26