群的同态定理与证明思路

【群同态基本定理】
设\(\sigma: G \rightarrow G'\)是一满同态，\(N=Ker(\sigma)\)，则\[G/N\cong G'. \]
证明：取\(\varphi: G \rightarrow G/N\)是自然同态，\(\psi(Na)=\sigma(a)\)是一同构，则\(\sigma= \psi \varphi.\)由同构立得\(G/N \cong G'.\)

【群同态第一定理】
设\(N \vartriangleleft G,\pi:G \rightarrow G/N\)为自然(满)同态。则有：
1. \(\forall N \subset H ≤ G, H\)与\(\pi(H)\)一一对应；
2. 在1中，正规子群与正规子群相对应；
3. 设\(N \subset H \vartriangleleft G\)，则\[ G/H \cong (G/N)/(H/N). \]

证明思路：
1.1 说明\(\forall N \subset H ≤ G, \pi (H)\)一定是\(G/N\)的子群；
反之，\(\forall \overline{H} ≤ G/N, \pi^{-1}(\overline{H})\)也是含\(N\)的子群。
1.2 结合满同态这一条件，证明上述条件下的\(H, \pi^{-1}(\pi(H))=H.\)
1.3 由逆映射存在可得到一一对应关系成立。

2.1 若 \(N \subset H \vartriangleleft G\),则 \(\pi(H) \vartriangleleft G/N.\) 这一步直接验证即可。
2.2 另一方面， \(\overline{H} \vartriangleleft G/N,\) 则 \(\pi^{-1}(H) \vartriangleleft G.\) 这里比2.1略复杂，可以利用\(\pi(x^{-1}\pi^{-1}(\overline{H})x) = \pi(x)^{-1}\overline{H}\pi(x) = \overline{H}.\)

3.1 令\(\overline{H}=\pi(H)\)。因为\(\overline{H} \vartriangleleft G/N\)，故\((G/N)/\overline{H}\)是商群。设\(\varphi: G/N \rightarrow (G/N)/\overline{H}\)为自然同态。
3.2 验证 \(\varphi \pi\)的核是\(\pi^{-1}(\overline{H}) = H\)，由同态基本定理得\[G/H \cong (G/N)/\overline{H}.\]
3.3 说明\(\overline{H} \cong H/N\)，即得结论。

【群同态第二定理】
设\(\sigma : G \rightarrow G'\)为满同态，\(Ker(\sigma) = K.\) 则有：
1. \(\forall K \subset H ≤ G\)与\(G'\)中全部子群依\(\sigma\)一一对应；
2. 在1中，正规子群与正规子群对应；
3. 若\(K \subset H \vartriangleleft G,\sigma(H)=H',\)则\[G/H \cong G'/H'. \]
群同态第二定理可视作第一定理的一般情形，第一定理亦可由第二定理直接推出。二者的证明方法类似，只需要把\(\pi\)换成\(\sigma\)即可。读者可作为练习证明之。

【群同态第三定理】
设\(H≤G, N\vartriangleleft G.\)则有\[ HN/N \cong H/(H \cap N).\]
证明思路：
1. 令\(\pi : G \rightarrow G/N\)为自然同态，\(H≤G.\)则\(Ker(\pi |_{H})=(H \cap N).\)
2. 说明\( (H \cap G) \vartriangleleft H\) 及 \(\pi(H) ≤ G/N.\)从而由同态基本定理，有\[H/(H \cap N) \cong \pi(H).\]
3. 再去分析\(\pi(H).\) 由同态基本定理，可得\( HN/N \cong \pi(HN).\)于是只需证明使用同态基本定理的条件，即证明\(HN ≤ G.\)
4. 最后说明\( \pi(HN) = \pi(H).\)综合以上几式即得结论。

    所属分类：抽象代数     发表于2021-09-27