实数系连续性7条定理及应用举例

定理1.(确界存在原理)非空有上界的实数集必有上确界。

定理2.(单调收敛原理)单调有界数列必收敛。

定理3.(闭区间套原理)设一列闭区间套\(\{[a_n,b_n]\}\)满足：
(i)\([a_n,b_n]\supseteq[a_{n+1},b_{n+1}]\);
(ii)\(\lim_{n \to \infty}(b_n - a_n)=0.\)
则\(\exists ! c \in \mathbb{R}, s.t. c\in [a_n,b_n](\forall n)\).
例3. 定义在\((a,b)\)的函数\(f(x)\)满足其中任意一点\(x_0,\ \exists \delta>0,s.t. x \in U_0(x_0,\delta)\cap(a,b)\)有\((x-x_0)(f(x)-f(x_0))>0\).证明\(f(x)\)严格单调。

定理4.(有限覆盖定理)闭区间\(a,b]\)的任一开覆盖中必能选取出有限个开区间，依然是\([a,b]\)的一个开覆盖。
例4. 证明\([0,1]\)不可列。

定理5.(聚点原理)\(\mathbb{R}\)的任一无穷子集必有极限点。

定理6.(列紧性原理)任何有界序列必有收敛子列。

定理7.(Cauchy收敛准则)序列\(\{x_n\}\)收敛的充要条件是它是一个Cauchy序列。
例7.1. (控制收敛原理)设\(\{x_n\}\)满足\(\sum_{n=1}^{\infty}|x_n|\)收敛，则\(\sum_{n=1}^{\infty}x_n\)收敛。
例7.2 (压缩映照原理)设\(f([a,b]) \subset [a,b],\exists 0<q<1,\forall x,y \in [a,b],|f(x)-f(y)|<k|x-y|.\)则\(\exists ! \zeta \in [a,b],f(\zeta)=\zeta.\)

    所属分类：数学分析     发表于2021-10-03