换位子群与可解群

【换位子，换位子群】
元素\(a^{-1}b^{-1}ab\)称为\(a,b\)的换位子，记为\([a,b].\)
群G中由全体换位子生成的子群\(G^{(1)}\)称为其换位子群。注意，换位子群中的元素可能不止包括全体换位子，而是由有限个换位子相乘而得。换位子群一定是正规子群:\[g^{-1}(a^{-1}b^{-1}ab)g= g^{-1}a^{-1}g \cdot g^{-1}b^{-1}g \cdot ( g^{-1}a^{-1}g)^{-1}\cdot(g^{-1}b^{-1}g)^{-1}.\]

在一个满同态\(\sigma:G \to G'\)中，若\(G'\)可交换，则因为\(\sigma(a^{-1}b^{-1}ab)=\sigma(a^{-1})\sigma(a)\sigma(b^{-1})\sigma(b)=1\),知\(G^{(1)} \subset Ker(\sigma).\)
而另一方面，如果\(G^{(1)} \subset Ker(\sigma)\),则同态象\(\sigma(G)\)一定可交换。所以有：
定理1 \(G^{(1)} \subset Ker(\sigma)\)的充要条件是是\(\sigma(G)\)可交换。特别地，如果取\(\sigma\)为某正规子群\(N \vartriangleleft G\)的自然同态，则\(G/N\)可交换的充要条件是\(G^{(1)} \subset N\)（亦即\(G^{(1)} ≤N.\)）

令\(G^{(k+1)} = [G^{(k)},G^{(k)}] \vartriangleleft G^{(k)} \),可以得到一个递减的群列\(G \vartriangleright G^{(1)} \vartriangleright G^{(2)} \vartriangleright ...\)
对于有限群而言，此序列必于某项起为恒相同。这启发我们可以如下定义可解群：

【可解群】
对于群G(不一定有限），如果存在正整数k使得\(G^{(k)}=\{e\}\)，则称G为可解群。

交换群一定是可解的，因为其换位子群就是\(\{e\}\)。而一般地，商群\(G^{(k-1)}/G^{(k)}\)都是可交换的（取自然同态，则\(G^{(k)}\subset Ker(\sigma)\))。另一方面，我们有如下定理：
定理2 群G可解的充要条件是：存在一列\[G = G_0 \vartriangleright G_1 \vartriangleright G_2 \vartriangleright ... \vartriangleright G_s = \{e\},\]且\(G_{k-1}/G_{k}\)可交换。
其必要性如上所述。对于充分性，我们利用可交换性知\(G^{(1)} \subset G_1\). 递推可知\(G^{(i)} \subset G_k\)，特别地\(G^{(s)} \subset G_s = \{e\}.\)

对于有限群G可解，我们有更强的性质，见如下定理：
定理3 有限群G可解的充要条件是存在一列\[G=H_0 \vartriangleright H_1 \vartriangleright ...\vartriangleright H_t = \{e\},\]且\(H_{i-1}/H_i\)是素数阶循环群。
定理的证明首先要用到一个小结论：回顾群同态定理中正规子群的一一对应，可知对于\(N \vartriangleleft G\)，有\(G/N\)是单群当且仅当N是G的极大正规子群。
从而对于\(G_{i-1}/G_i\)，只要它不是单群，我们就可以在其中插入一个\(G_{i_1}\)，使得\(G_{i-1} \vartriangleright G_{i_1} \vartriangleright G_i\)，并且利用同态第一定理的同构可以说明仍然保持交换性。
最后结合G的有限性，以及交换单群必为素数阶循环群，即可完成证明。

    所属分类：抽象代数     发表于2021-10-09