外测度与Lebesgue测度的性质

【外测度】
定义:\(m^*(E) = \inf \{\sum_{k=1}^{\infty}|I_k| : E \subset \bigcup_{k \in Z} I_k \}\),其中\(I_k\)为开矩体。

性质:
1. 非负性
2. 单调性
3. 次可数可加性
4. 若\(d(E_1,E_2)>0\),则\(m^*(E_1 \cup E_2) = m^*(E_1)+m^*(E_2).\)
将覆盖两个小集合的开矩体进行细分再略扩张,使得覆盖后两组开矩体不相交。
5. \(m^*(E) = \inf \{m^*(O):O\ is\ open\ \land E \subset O\}.\)
6. Carathedory引理:\(G \ne R^n\)开集,\(E\subset G,E_k=\{x\in E|d(x,G^c)\ge \frac{1}{k}\}\),则\(\lim m^*(E_k)=m^*(E).\)
引理表明,对任意开集内的子集E,可以通过其内的闭集与E的交去逼近E的外测。
7. 外测度的正则性 存在包含E的\(H \in G_{\delta},m(H)=m^*(E).\)

【Lebesgue可测与测度】
定义:对于集合E,若\(\forall \epsilon >0,\ \exists\) 开集O 满足\[ E \subset O \land m^*(O-E)\le \epsilon,\]则称 E (Lebesgue)可测,并记\(m(E)=m^*(E).\)
定义2:对任意集合T,有\(m^*(T) = m^*(T\cap E) + m^*(T \cap E^c)\).

性质:
1. 开集可测
2. 零外测集可测
3. 可数个可测集之并可测
4. 闭集可测
需要利用引理:F闭,K紧且不交,则\(d(F,K)>0\). 用开集O覆盖F并估计O-F,仍是开集,将其写为可数个几乎不交的矩体之并。
5. 可测集的补集可测
用开集列逼近可测集,再取补集。注意利用性质2,3.
6. 可数个可测集的交可测, Borel集可测
由摩根律显然。
7. 可数可加性(不交的可测集之并的测度等于这些集合的测度之和)
先证明有限的情况,从内部选取闭集(紧集)逼近
8. \(E_k \nearrow E,\) 则\(m(E) = \lim_{k \to \infty}m(E_k)\);
\(E_k \searrow E \land m(E_1)\)有限 , 则\(m(E) = \lim_{k \to \infty}m(E_k)\).
9. E可测,则\(\forall \epsilon>0, \exists O\)开集,\(F\)闭集,满足\(F \subset E \subset O\), 且\(m(O-E)≤\epsilon, m(E-F)≤\epsilon\);
若\(m(E)\)有限,则存在紧集K,满足\(K \subset E \land m(E-K)≤\epsilon\).
10. \( m(E)\)有限,则\(\forall \epsilon >0\),存在有限个闭立方体\(F = \bigcap_{n=1}^k Q_j\), 使得\(m(E \triangle F)≤\epsilon\).
11. E可测当且仅当E与一个\(G_{\delta}\)集相差一个零测集,当且仅当E与一个\(F_{\sigma}\)集相差一个零测集
用\(m(O_n - E)≤\frac 1 n \)去逼近E.
12. \(E_k\)可测。则\(m(\underline{\lim}_{k \to \infty}E_k)≤\underline{\lim}_{k \to \infty} m(E_k)\).
13. 正测集E,\(\lambda \in (0,1)\),则存在开矩体I,使得\(\lambda|I|\le m(I \cap E).\)
14. Steinhaus定理 正测集E,\(\exists \delta >0,E-E\supset B(0,\delta).\)

    所属分类:实变函数     发表于2021-10-10