循环群与关于元素阶的一组性质

【循环群】
由群G中一个元素a生成的子群称为循环群，记作\(\langle a \rangle\).
循环群的结构是容易研究的。一般我们用整数加法群\(Z_+\)来刻画循环群的性质。

定理1. \(Z_+\)的子群都是由某非负整数m生成的循环群。\(nZ \supset mZ \Leftrightarrow n|m.\)

定理2. 无限循环群与\(Z_+\)同构；阶为m的有限循环群\(\langle g \rangle\)与\(Z/mZ\)同构，且对\(\forall s | m, \exists ! s\)阶子群\(\langle g^{\frac m s}\rangle\)。
利用Z到此循环群的满同态\(\varphi(n) = g^n\)(g为生成元)及同态定理可证。

【关于元素阶的一组性质】
在群G中，设\(g,h\in G\),且\(o(g)=m,o(h)=n.\)
性质1. \(g^l = e \Leftrightarrow m|l.\)
性质2. \(o(g^s) = \frac{m}{(m,s)}.\)
性质3. 若g，h可交换，且\((m,n)=1\)，则\(o(gh) = mn.\)
性质4. 若G是有限交换群，则\(\exists a \in G\),其阶为所有元的阶的倍数。
先取阶最大的元，反设存在一个阶不能整除的元，利用性质3.
性质5. 若g，h可交换，则\(o(g^n h^m)=\frac{[m,n]}{(m,n)}\), 且存在阶为\((m,n),[m,n]\)的元.

利用性质4可以证明循环群的一个判别条件:
定理3. G为有限交换群, 则G为循环群的充要条件为\(\forall m \in Z,x^m=e\)至多有m个解。
取阶最大的元，将阶带入m并利用不等号即可证明\(|G|=m.\)

如果引入了单群的概念，可以给出另一个判别定理。
定理4. 设G为至少有2元素的交换群。则G是单群的充要条件是G为素数阶循环群。

    所属分类：抽象代数     发表于2021-10-10