平面与直线的方程

【平面方程】
参数方程
已知一点和两向量\(M_0,\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\). 则\(M \in \pi \Leftrightarrow \overrightarrow{MM_0},\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\)共面，可以写为\(M=M_0 + s\overrightarrow{u_1}+t\overrightarrow{u_2}\)，其中点表示坐标，s和t为参数。

一般方程：\(Ax+By+Cz+D=0\)
如果已知三点，可以代入求解方程。
如果已知一点\(M_0\)两向量\(a,b\)，可以再用“三向量共面”的条件：\[\begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\x-M_x & y-M_y & z- M_z\end{vmatrix} = 0.\]
一般情况下，用以上行列式求解平面方程是比较方便的。对于已知三点和已知两点一向量的情况，均可以转化为这种情形。
平面方程的前三个系数可以视为构成法向量，与平行于平面的向量具有如下性质：
定理1. \(\vec{a} // \pi\)的充要条件是\(\vec{a}\cdot (A,B,C)=0.\)

【直线方程】
常见的直线方程有参数方程、标准方程和一般方程。
对于已知一点一向量与已知两点的情况，都可以转化为前者，然后写出参数方程或标准方程（此二种统称为点向式方程）：
参数方程\[\begin{cases}x=x_0+tX\\y=y_0+tY\\z=z_0+tZ\end{cases}\]
标准方程\[\frac{x-x_0}{X}=\frac{y-y_0}{Y}=\frac{z-z_0}{Z}\]
其中\(X,Y,Z\)可以形式上等于0，表示该方向上的方向向量为0。

直线也可以视作两平面的交线。这里可以用两个平面方程确定一个直线方程，称为一般方程：\[\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{cases}\]
相对而言，一般方程的求解更为容易，但比点向式方程缺乏几何直观。如果已知某个一般方程，可以直接给出直线的方向向量：\[\vec{u}=(\begin{vmatrix}B_1&C_1\\B_2&C_2\end{vmatrix},\begin{vmatrix}C_1&A_1\\C_2&A_2\end{vmatrix},\begin{vmatrix}A_1&B_1\\A_2&B_2\end{vmatrix}).\]

【直线和平面的位置关系】
直线与平面有三种位置关系：相交、直线在平面上、无交点，后两种统称为平行。一般直线与平面的关系问题都可以转化为代数方程求解。
若已知直线的一般方程，可以用共轴平面系来表示所有经过此直线的平面方程：
\[\lambda\pi_1+\lambda\pi_2=0,\lambda_1^2+\lambda_2^2\ne0.\]
【直线和直线的位置关系】
直线与直线有四种位置关系：异面、相交、平行（不重合）、重合，后三者统称为共面，后二者统称为平行。
\[l_1//l_2 \Leftrightarrow u_1//u_2,\] \[l_1,l_2\text{共面}\Leftrightarrow(u_1,u_2, \overrightarrow{M_1M_2})=0,\] \[l_1,l_2\text{重合}\Leftrightarrow u_1,u_2, \overrightarrow{M_1M_2}\text{共线}.\]

    所属分类：几何学     发表于2021-10-10