数列的上、下极限

【数列上、下极限的几个等价定义】
记\(\varlimsup_{n\to\infty}a_n,\varliminf_{n\to\infty}a_n\)分别为\(\{a_n\}\)的上、下极限。有如下几个等价定义：
1. \(\varlimsup a_n = \inf_n\{\sup_{k\ge n}a_k\},\varliminf a_n = \sup_n\{\inf_{k\ge n}a_k\}.\)
2. \(\forall \epsilon >0,\exists N,\forall x>N,x_n\le h+\epsilon;\forall K,\exists n_K>K,x_{n_K}>h-\epsilon \) 当且仅当h为上极限
3. h为数列上极限当且仅当\(\{a_n\}\)存在一个收敛于h的子列，且其任一个收敛子列的极限≤h

【数列上、下极限的几个常用性质】
1. \(\{a_n\}\)收敛当且仅当其上下极限相等；
2. 若有界数列\(\{a_n\}\)由互不相同的数组成，则上极限为最大聚点，下极限为最小聚点；
3. 任意子列\(\{a_{n_k}\}\)有\(\varliminf a_n \le \varliminf a_{n_k} \le \varlimsup a_{n_k} \le \varlimsup a_n.\)
4. \(\varlimsup a_n = - (\varliminf (-a_n)).\)
5. \(\varlimsup x_n + \varlimsup y_n \ge \varlimsup (x_n+y_n)\ge \varlimsup x_n + \varliminf y_n.\)
\(\varliminf x_n + \varliminf y_n \le \varliminf (x_n+y_n)\ge \varlimsup x_n + \varliminf y_n.\)
6. 若 \(x_n \ge 0 ,y_n \ge 0.\)则\(\varliminf x_n \cdot \varliminf y_n \le \varliminf (x_ny_n) \le \varliminf x_n \cdot \varlimsup y_n.\)
\(\varliminf x_n \cdot \varlimsup y_n \le \varlimsup (x_ny_n) \le \varlimsup x_n \cdot \varlimsup y_n.\)
7. \(x_n>m>0\), 则\(\varlimsup \frac{1}{x_n} = \frac{1}{\varliminf x_n}.\)
8.若已知\(\{y_n\}\)收敛则\(\varlimsup (x_n+y_n)=\varlimsup x_n + \lim y_n.\)

【一组利用上、下极限的经典题目】
例1. \(b_1=1,b_{n+1}=1+\frac{1}{b_n}\)，求\(b_n\)极限。
先证明有界性，再分别取上下极限证明相等。

例2. \(y_n = x_n+2x_{n+1}\)收敛，证明\(x_n\)收敛。
同1.

例3.设序列\(x_n\)满足：\(\forall n,m \in N,0\le x_{n+m} \le x_n+x_m.\)证明\(\{\frac{x_n}{n}\}\)收敛。

    所属分类：数学分析     发表于2021-10-16