旋转面、柱面和锥面

【旋转面】
以\(l\)为轴线，\(\Gamma\)为母线的旋转面记作S. \(M_0 \in l , l // u_0.\)
则\(M\in S\Leftrightarrow \exists M_1 \in \Gamma,\overrightarrow{M_1M}\cdot u_0=0 \land |\overrightarrow{M_0M_1}|=|\overrightarrow{M_0M}|.\)
先用\(\overrightarrow{M_1M}\cdot u_0 = 0\)写出\(M_1\)的坐标，再用\(|\overrightarrow{M_0M_1}|=|\overrightarrow{M_0M}|\)写出S的方程。

【圆柱面】
圆柱面是特殊的旋转面，由一条直线绕与其平行的轴线形成。
仍设轴线\(l,M_0\in l , l // u_0\)，则\(M \in S \Leftrightarrow |\overrightarrow{MM_0} \times u_0 |=|u_0|r.\)
如果已知圆柱面上一点\(M_1\),则有\[|\overrightarrow{MM_0} \times u_0 |=|\overrightarrow{MM_1} \times u_0 |.\]
【圆锥面】
圆锥面是另一种特殊的圆锥面，由直线绕与其相交但不垂直的直线而成。母线与轴线的交点为锥顶\(M_0\)，夹角为半顶角\(\alpha\)。
于是\(|\overrightarrow{M_0M}\cdot u | = |\overrightarrow{M_0M}|\cdot |u|\cos \alpha.\)
如果已知圆锥面上一点\(M_1\)，则
\[\frac{|\overrightarrow{M_0M}|}{|\overrightarrow{M_0M} \cdot u |}= \frac{|\overrightarrow{M_1M}|}{|\overrightarrow{M_1M} \cdot u |}\]
【柱面】
由一族互相平行的直线组成的图形称为柱面。这些直线称为直母线。如果柱面上一条曲线与每条直母线都相交，则称为准线。
设柱面S平行于\(u\)，一条准线为\(\Gamma\).则\(M\in S \Leftrightarrow\)过\(M\)且平行于\(u\)的直线与\(\Gamma\)相交。
设\(u(x_1,y_1,z_1),\Gamma:F(x,y,z)=G(x,y,z)=0\).则柱面方程可由\(F(x+tx_1,y+ty_1,z+tz_1)=G(x+tx_1,y+ty_1,z+tz_1)=0\)解出。

【锥面】
由一族过同一点\(M_0\)的直线构成的曲面称为锥面，这些直线称为直母线，\(M_0\)称为锥顶，曲面上不过锥顶且和每条直母线相交的曲线称为准线。
如果一个点不是锥顶，则其在锥面上的充要条件是其与锥顶所在直线与准线相交。
设\(M_0(x_0,y_0,z_0),\Gamma:F(x,y,z)=G(x,y,z)=0.\)则锥线方程可由\[F((1-t)x_0+tx,(1-t)y_0+ty,(1-t)z_0+tz)=0\]\[G((1-t)x_0+tx,(1-t)y_0+ty,(1-t)z_0+tz)=0\]给出。

    所属分类：几何学     发表于2021-10-24