环的直和

本文中，我们默认所有环都是幺环。
设有r个环\(R_1,\cdots R_r,R=R_1\oplus\cdots\oplus R_r.\)定义R中乘法如下：\((a_1,\cdots,a_r)(b_1,\cdots,b_r)=(a_1b_1,\cdots,a_rb_r)\)则R成一环，即\(R_1,\cdots R_r,R=R_1\oplus\cdots\oplus R_r\)的直和。

与群的直和类似，我们有如下定理：
设\(R\)的子环\(R_1,\cdots R_r\)满足以下条件：
1. \(R_i\)为理想；
2. \(R=R_1 +\cdots +R_r\)；
3. \(R_i \bigcap \sum_{j\ne i} R_j = (0)\).
则\(R\cong R_1\oplus\cdots\oplus R_r.\) 称R为这些理想的内直和。

下面引入理想的积与互素的概念，并给出几个简单性质。
定义1. 理想\(H,N\)的积\(HN=\{\sum a_ib_i|a_i\in H,b_i\in N\}\). 这里的求和要求有限项。
定义2. 如果理想\(H,N\)满足\(H+N=R\),称理想\(H,N\)互素。

性质1. 理想的积\(HN\)仍是理想。
性质2. 理想的乘法与加法满足交换律：\(H(N+K)=HN+HK,(H+N)K=HK+NK.\)
性质3. 交换环R中，\(H,N\)互素可以推出\(HN=H\cap N.\)
性质4. 若\(H,K\)都和\(N\)互素，则\(HK\)也和\(N\)互素。

【中国剩余定理】幺环\(R\)的理想\(N_1,\cdots N_r\)两两互素。则\[R/(N_1\cap \cdots N_r)\cong R/N_1\oplus\cdots\oplus R/N_r.\]设自然同态\(\sigma_i:R\to R/N_i.\)则\(\sigma:x\mapsto(\sigma_1(x),\cdots,\sigma_r(x))\)是满同态，且\(ker(\sigma)=N_1\cap \cdots \cap N_r.\)
证明思路：取\(M_i=\prod_{j\ne i} N_j.\) 递推证明\(M_1+\cdots +M_r=R.\) 取一组\(e_1+\cdots +e_r=1,e_i\in M_i.\)

【推论】幺环\(R\)的理想\(N_1,\cdots N_r\)两两互素，且还满足\(N_1\cap\cdots\cap N_r=(0),\)则\[R\cong R/N_1\oplus \cdots\oplus R/N_r.\]

    所属分类：抽象代数     发表于2021-11-14