可测函数

可测函数的定义：
定义在可测集上的广义实值函数\(f(x)\), 满足\(\forall t \in R,\{x|f(x)>t\}\)是可测集，则称为可测函数。
如果已知某个函数是可测函数，则隐含了其定义域是可测集的条件。一个集合可测当且仅当其特征函数可测。

可测函数的基本性质：
1. 可测函数在数乘，加法，乘法运算下封闭。
2. 如果已知一列\(\{f_k\}\)可测，则以下函数可测：
(i) \(\sup\{f_k(x)\},\inf\{f_k(x)\}\)
(ii) \(\varlimsup_{k\to\infty}f_k(x),\varliminf_{k\to\infty}f_k(x)\)
(iii) 若已知 \(\lim_{k\to\infty}f_k(x)=f(x)\),则\(f(x)\)可测。
3. 单调函数可测，连续函数可测。

【局部有界化定理】\(f(x)\)是定义在有限测度集A上的可测函数，且几乎处处不为0、几乎处处有限。则 \(\forall \delta \in (0,m(A)),\exists B\subset A,k\in N,\)\[m(A-B)<\delta,\frac{1}{k}\le f(x) \le k,x\in B.\]

【简单函数】
\(f(x)=\sum_{i=1}^p c_i \chi_{E_i}(x)\)称为简单函数。若每个\(E_i\)可测，称为可测简单函数；若每个\(E_i\)是矩体，称为阶梯函数。
【简单函数逼近定理】
(i)若\(f(x)\)是非负可测函数，则存在非负可测的简单函数渐升列：\(\varphi_k(x)\le\varphi_{k+1}(x),\forall k\),使得\(\lim \varphi_k(x)=f(x)\).
(ii) 在(i)中删去非负的条件，则存在可测简单函数列\(|\varphi_k(x)|\le|f(x)|\),且有\(\lim \varphi_k(x)=f(x)\).
(iii)若在(ii)中加入\(f(x)\)有界的条件，则上述收敛一致。
(iv)以上可测简单函数列均可取成具有紧支集的。

【a.e.收敛与一致收敛】
引理：设\(f(x),f_k(x)\)在E上几乎处处有限且可测，E测度有限，\(f_k(x)\to f(x),a.e. x\in E.\) 则对任意正数\(\epsilon\),令\(E_k(\epsilon)=\{x:|f_k(x)-f(x)|\ge \epsilon\}\). 则\[\lim_{j\to\infty} m(\bigcup_{k=j}^{\infty}E_k(\epsilon))=0.\]
近一致收敛定理：设\(f(x),f_k(x)\)在E上几乎处处有限且可测，E测度有限，\(f_k(x)\to f(x),a.e. x\in E.\)则任意给定正数\(\delta\)，存在E的可测子集\(E_\delta, m(E_\delta)\le \delta,\) 使得\(f_k(x)\)在\(E-E_\delta\)上的收敛是一致的。

【a.e.收敛与依测度收敛】
依测度收敛的定义：\(f(x),f_k(x)\)是在E上几乎处处有限的可测函数。若对任意正数\(\epsilon\)，有\[\lim_{k\to\infty} m(\{x:|f_k(x)-f(x)|>\epsilon\})=0,\] 称\(f_k(x)\)依测度收敛于\(f(x)\).

依测度收敛的性质
1. 在函数对等（几乎处处相等）意义下，依测度收敛的函数列极限唯一。
2. 几乎处处有限的函数列，若a.e.收敛于几乎处处有限的\(f(x)\)，则也依测度收敛于\(f(x)\). 但反之不然
3. 设\(f(x),f_k(x)\)是E上几乎处处有限的可测函数。若\(\forall \delta >0,\exists E_\delta \subset E,s.t. m(E_\delta)<\delta,f_(x)\)在\(E-E_\delta\)上一致收敛于\(f(x)\), 则在E上依测度收敛于\(f(x)\). 如果还已知E测度有限，则\(f_k(x)\to f(x), a.e. x\in E.\)
4. (完备性定理) E上的依测度Cauchy列\(\{f_k(x)\}\)一定依测度收敛于某个E上的几乎处处有限的可测函数\(f(x)\).
5. (Riesz定理) 若\(\{f_k(x)\}\)在E上依测度收敛于\(f(x)\), 则存在子列\(f_{k_i}(x)\) a.e.收敛于\(f(x)\).

【可测函数与连续函数】
局部连续化定理：设\(f(x)\)是E上几乎处处有限的可测函数，则对\(\forall \delta >0,\)存在E中的闭集F，使得\(m(E-F)<\delta,f(x)\)在F上连续。
推论1. \(f(x)\)a.e.有限、可测，则任意正数\(\delta\)，存在\(R^n\)上的连续函数\(g(x)\)使得 \(m(\{x:f(x)\ne g(x)\})<\delta.\)
推论2. 条件同1. 存在\(R^n\)上的连续函数列\(g_k(x)\)， a.e.收敛于\(f(x)\).

【复合函数的可测性】
引理：实值函数\(f(x)\)在\(R^n\)上可测的充要条件是：对任一开集G，\(f^{-1}(G)\)可测。
定理：设\(f(x)\)连续，\(g(x)\)实值可测。则\(f(g(x))\)是\(R\)上的可测函数。但\(g(f(x))\)未必。

    所属分类：实变函数     发表于2021-11-15