重积分与累次积分的关系

【Tonelli定理】
设\(f(x,y)\)是\(R^n=R^p\times R^q\)上的非负可测函数。则有如下结论:
1. 对\(a.e. x,f_x(y)=f(x,y)\)是\(R^q\)上的非负可测函数;
2. 记\(F(x)=\int_{R^q} f_x(y)dy\)是\(R^p\)上的非负可测函数;
3. \[\int_{R^p\times R^q} f(x,y)dxdy = \int_{R^p} F(x)dx=\int_{R^p}(\int_{R^q}f_x(y)dy)dx.\]
【Fubini定理】
设\(f(x,y)\in L(R^n),R^n=R^p\times R^q.\)则有如下结论:
1. 对\(a.e. x,f_x(y)=f(x,y)\)是\(R^q\)上的可积函数;
2. 记\(F(x)=\int_{R^q} f_x(y)dy\)是\(R^p\)上的可积函数;
3. \[\int_{R^p\times R^q} f(x,y)dxdy = \int_{R^p} F(x)dx=\int_{R^p}(\int_{R^q}f_x(y)dy)dx.\]
在不确定函数是否可积的情况下,可以取绝对值用Tonelli定理判定其可积性,再用Fubini定理计算其积分。

    所属分类:实变函数     发表于2021-11-19