求导法则

【四则运算】
1. \((f+g)'=f'+g'\);
2. \((fg)'=f'g+g'f\);
3. \((\frac{f}{g})'=\frac{f'g-fg'}{g^2}.\)

【反函数】
严格单调的函数\(y=f(x)\),有\[\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}.\]例：\(y=\arctan x, y'=\frac{1}{x'_y}=\frac{1}{(\tan y)'}=\frac{1}{\frac{1}{\cos^2 y}}=\frac{1}{1+\tan^2 y}=\frac{1}{1+x^2}.\)

【复合函数】
\(F(x)=f(g(x)),F'(x_0)=f'(g(x_0))g'(x_0).\)也可记为\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}.\)

【隐函数】
一般需要先证明一一对应成立。然后将\(y=f(x)\)视为关于x的函数，对\(F(x,y)=0\)求导，解出\(y'=f'(x)\)的表达式。
常见的一个应用是对数求导法。在\(y=f(x)\)中取对数，\(\ln y = \ln f(x),\frac{y'}{y}=\frac{f'(x)}{f(x)}.\)

【参数方程】
设有参数方程\[\begin{cases} x= x(t),\\y=y(t).\end{cases}\]且满足\(x'(t)\ne 0.\)
则有\[y'(x)=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=\frac{y'(t)}{x'(t)}.\]

【极坐标方程】
设有极坐标方程\(r=r(\theta)\).转化为参数方程形式，得\[\begin{cases} x=r(\theta)\cos \theta,\\y=r(\theta)\sin \theta.\end{cases}\]假设有\(x'(\theta)\ne 0,\)则\[\frac{dy}{dx}= \frac{r'(\theta)\sin\theta +r(\theta)\cos\theta}{r'(\theta)\cos\theta -r(\theta)\sin\theta}\]
推论：向径与切线的夹角满足\(\tan \beta = \frac{r(\theta)}{r'(\theta)}.\)

【高阶导数】
\((\sin x)^{(n)}= \sin ( x + \frac{n\pi}{2}) ,(\cos x)^{(n)}= \cos ( x + \frac{n\pi}{2}).\)
莱布尼茨公式：\[(u\cdot v)^{(n)} = \sum_{k=0}^n C_n^k u^{(k)}v^{(n-k)}.\]

    所属分类：数学分析     发表于2021-11-26