圆锥曲线的度量特征

【抛物线的对称轴】
当\(a_{11},a_{12}\)不全为0时，抛物线对称轴为\[a_{11}x+a_{12}y+\frac{a_{11}b_1+a_{12}b_2}{I_1}=0.\]全为0时可以用\(a_{12},a_{22}\)代替之。

求对称轴和抛物线的交点，得到抛物线的顶点O'. 以O'为原点，开口朝向为y'轴正方向，作右手直角坐标系I'.则抛物线方程为\[ax^2 - 2py=0,\ a=I_1,-ap^2=I_3.\]
研究抛物线的一般步骤为：
1. 写出\(A,A_0,I_1,I_2,I_3.\) 求出对称轴方程；
2. 联立对称轴方程与抛物线方程，解出顶点坐标；
3. 代入对称轴的方向向量，求开口朝向；(详见圆锥曲线的仿射特征)
4. 根据顶点和开口朝向向量，建立新坐标系并作图。

【椭圆和双曲线的对称轴】
对于中心型曲线，如果一个方向与其共轭方向垂直，称为主方向。
主方向的方向向量一定是\(A_0\)的特征向量，即方程\[\lambda^2 -I_1 \lambda +I_2=0\]的解。
对于二次曲线不是圆的情况，恰有2个主方向。以曲线的中心和这两个方向建立右手系\(O;\vec{e_1},\vec{e_2}\)，设其对应的特征值分别为\(\lambda_1,\lambda_2\). 则曲线的方程可化为\[\lambda_1 x^2 + \lambda_2 y^2 + c =0,\ c= \frac{I_3}{\lambda_1\lambda_2}.\]
研究中心型曲线的一般步骤：
1. 写出\(A,A_0,I_1,I_2,I_3.\) 解特征方程，得到两个特征根\(\lambda_1,\lambda_2\)；
2. 代入特征根，求解两个特征向量；
3. 利用方程\(F_1(x,y)=F_2(x,y) = 0\)求出曲线的中心；
4. 选取适当的方向使得两个向量成右手系，根据中心和主方向建系并作图。

    所属分类：几何学     发表于2021-11-30