域的单扩张，代数扩张与有限扩张

一般地，在域K中取定一个子域，将F视为基域、K视为扩域，称K/F为F上的一个域扩张。对于K的一个非空子集S，K中一切包含F和S的子域之交记为F(S).容易看出，F(S)即为F[S]的分式域。
特别地，当S只有一个元素\(\alpha\)时，得到的域\(F(\alpha)\)称为F上的一个单扩张。

定理1. 设K/F为一个域扩张,\(\alpha\in K.\)
(1)若\(\alpha\)在K上是代数的，设\(f(x)\)为其极小多项式，则\(F(\alpha)=F[\alpha]\cong F[x]/(f(x)).\) 这种扩张称为单代数扩张。
(2)若\(\alpha\)在K上是超越的，则\(F[\alpha]\cong F[x],F(\alpha)\cong F(x).\) 这种扩张称为单超越扩张。

在单代数扩张下，若令\(n = deg (f(x)),\)则\(F(\alpha)\)中任一元在极小多项式的迭代下总可以唯一表示成\(1,\alpha,\cdots,\alpha^{n-1}\)的线性组合。

如果将扩域K视为F上的线性空间，则K对F的维数称为扩张K/F的次数，记作\([K:F].\)如果次数有限，称K/F为有限扩张。K对F的一组基也叫做扩张K/F的一组基。于是在单代数扩张下，\(1,\alpha,\cdots,\alpha^{n-1}\)成一基。

对于域扩张K/F中K中任一元\(\alpha\)，\(\alpha\)是代数元的定义是存在F中一正次数多项式以其为根，这等价于存在正整数m使得\(1,\alpha,\cdots,\alpha^m\)线性相关。若存在，则最小的正整数m称为\(\alpha\)的次数，即其极小多项式的次数。因此，任一有限扩张K/F一定是代数扩张（K中每个元素都是F上的代数元）。

这就证明了：
定理2. 设K/F为一域扩张，\(\alpha\in K.\) 以下命题等价：
(1) \(F(\alpha)/F\)是代数扩张；
(2) \(\alpha\)在F上是代数的；
(3) \(F(\alpha)/F\)是有限扩张。

下面讨论有限扩张的次数关系。
定理3. 设\(K \supset E \supset F.\)(以下默认K,E,F等字母都代表域.) 则\([K:F]=[K:E][E:F].\) 这里可以理解为等号两端同时有限或无限。

推论1. 域扩张K/F为有限扩张的充要条件是存在一个单代数扩张升链：\[F=F_0\subset F_1\cdots \subset F_r = K,\]使得\(F_{i+1}/F_i\)为单代数扩张。
对扩张次数进行归纳即可。

推论2. 设\(K \supset E \supset F.\)若K/E,E/F都是代数扩张，则K/F也是。
证明：设\(\alpha\in K,g(x)=x^r + a_1 x^{r-1} + \cdots + a_r(a_i \in E)\)为极小多项式。这个极小多项式的系数不一定在F中。我们设法构造一个中间域L，使得\(\alpha \in L,\)且L/F是有限扩张，从而一定是代数扩张，于是\(\alpha\)就是F上的代数元。
因为E/F也是代数扩张，令\(F_0 = F,F_i = F_0(a_1,\cdots , a_i ) ,F_{r+1} = F_r(\alpha)\). 于是\(F=F_0 \subset F_1 \cdots \subset F_{r+1}\)为一单代数扩张升链，故\(F_{r+1}/F\)是有限扩张，且\(\alpha \in F_{r+1}.\)是F上代数元。综上，K/F为代数扩张。

推论2的结论要强于定理3. 定理3说明了有限扩张的复合依然有限，而有限扩张一定是代数扩张，但代数扩张不一定有限。但推论2证明了代数扩张的复合依然是代数的。

推论3. F上的代数元在四则运算下封闭。K/F中F上的代数元全体构成一中间域，称为代数闭包。

    所属分类：抽象代数     发表于2021-12-13