分裂域与正规扩张

定义. 取定基域F和正次多项式\(f(x) \in F[x],\)如果有一个域扩张E/F满足：
(1) f(x)在E[x]内能完全分解为一次因式的乘积：\[f(x) = c(x-a_1)\cdots (x-a_n);\](2)\(E=F(a_1,\cdots ,a_n).\)
则称E/F为\(f(x)\)的一个分裂域。

定义要求，不仅f(x)在E内能完全分解，而且E恰好是F加上f(x)的根得到的域（不能更大）。我们将证明每个正次数多项式都有一个分裂域，并且在F同构的意义下是唯一的。

定义. 如果\(K_1/F,K_2/F\)为2个域扩张，同构（或同态）\(\eta:K_1\to K_2\)满足限制在F中为恒等映射，则称\(\eta\)为一个F同构（或F同态）。

定理1. 设\(P(x)\in F[x]\)为一不可约多项式。则存在域扩张\(K/F\)使\(P(x)\)在K中有根。
证明：因为\(P(x)\)不可约，所以\((P(x))\)是\(F[x]\)内的极大理想，商环\(F[x]/(P(x))\)构成一域K。则映射\(a\mapsto \bar a = a+ (P(x))\)为一单同态。（详见多项式环与多项式函数）
令\(a = \bar x = x + (P(x)),\) 则\(P(a) = \overline{P(x)}=0.\)于是a为P(x)的一根。

定理2. 设\(F(a_1)/F,F(a_2)/F\)是两个单代数扩张，且\(a_1,a_2\)都是不可约多项式\(P(x)\)的根。则存在\(F(a_1),F(a_2)\)的F同构\(\eta\)，使得\(\eta(a_1) = a_2.\)
证明：\(F(a_1),F(a_2)\)都F同构于\(F[x]/(P(x))\),且\(a_i\)都与\(\bar x \)对应。

定理3. 每个正次数多项式\(f(x) \in F[x]\)都有一个分裂域。
对\(f(x)\)的次数作归纳法，先取一个不可约因式\(p(x) | f(x)\)，利用定理2构造一根，并分解出至少一个一次因式。然后利用归纳假设即可。
注意这里并不要求\(f(x)\)是不可约的。

下面再证明分裂域的唯一性。先解决一些有关同构开拓的问题。
引理1. \(\sigma:F\to F'\)是域同构，则\(\sigma\)可以唯一开拓成一元多项式环上的同构：\(\bar \sigma:F[x]\to F'[y].\)
引理2. \(\sigma:F\to F'\)是域同构，\(F(a),F'(a')\)是两个单代数扩张，且\(a,a'\)分别为不可约多项式\(p(x) \in F[x],p^{\sigma} (y)\in F'[y]\)的根。则\(\sigma\)可唯一开拓成同构\(\sigma ' :F(a)\to F'(a'),a\mapsto a'.\)

定理4.设\(\sigma: F\to F'\)为域同构，\(f(x)\in F[x]\)为一正次数多项式，E和E'分别为\(f(x),f^{\sigma}(x)\)的分裂域，则\(\sigma\)可以唯一开拓成同构\(\sigma':E\to E'.\)
从引理1、引理2到定理4的证明逻辑如下：首先引理1说明域上的同构总可以开拓成多项式环上的同构，而根据定理2，同构的多项式环如果同时商去对应的不可约多项式，得到的单代数扩张也是同构的，此即引理2. 最后对分裂域次数\([E:F]\)进行归纳，每次取\(f(x)\)的一个不可约多项式\(p(x)\)并取一根\(\alpha\)，对于F'也取对应的资料，于是根据引理2有单代数扩张的同构开拓：\(F(\alpha)\to F'(\alpha ')\),且E和E'仍是\(F(\alpha),F'(\alpha')\)的分裂域，此时可用归纳假设。

在定理4中若令F'=F，可知分裂域在F同构意义下是唯一的。如果域扩张K/F的两个中间域都是F的分裂域，则它们相等；即K/F的中间域E若为f(x)的分裂域，则E在K的任一个F自同构下保持不变。

最后我们讨论用正规性刻画分裂域。
定义. 一个代数扩张K/F称为正规扩张，满足：当\(F[x]\)中任一不可约多项式在K内有一根时，它在K内可以完全分解成一次因式的乘积。
正规扩张不一定是有限扩张，但要求是代数扩张。对于有限扩张的情形，我们有如下定理：

定理5. 一个有限扩张K/F是正规扩张的充要条件是K为\(F[x]\)中一个多项式的分裂域。

对于无限扩张的情形，我们一般可以通过构造分裂的零化多项式来讨论正规性。

定义. 设K/F是有限扩张，如果K上一个代数扩张E/K满足：
(1)E/F是正规扩张；
(2)若中间域L\((F\subset L \subset E )\)包含K，且L/F正规，则\(L=E.\)
则称E/F为K/F的正规闭包。

    所属分类：抽象代数     发表于2021-12-13