分圆域

下面我们主要讨论\(x^n - 1\)在素域P(特征为0或为p)上的分裂域E，并决定次数\([E:P]\)。当\(p|n\)时，因为\(x^n - 1 = (x^{\frac{n}{p}}-1)^p\)，我们总假定n与p互素。

首先，求导知\(x^n-1\)在E上只能有单根（如无说明，均考虑特征为0或p的情况，下同）。\(x^n-1\)在E内有n个不同的根，形成一n阶循环群，称为n次单位根。其中的生成元素称作本元n次单位根，恰好有\(\varphi (n)\)个。因此，任取一本元单位根\(\zeta\)，有\(E = P(\zeta).\)

再来确定\([E:P]\)次数.
(1) P的特征为p.
设\([E:P] = [E:F_p]=r,\) 则\(E = GF(p^r).\)
我们定义\(p \mod n\)的指数为最小的e使得\(p^e \equiv 1 \pmod n.\)
定理1. \([E:P]=r\)为p模n的指数，且\(\zeta\)的极小多项式\[f(x) = (x-\zeta)(x-\zeta^p)\cdots (x-\zeta^{p^{r-1}}).\]
(2) P的特征为0，即\(P=Q.\)
定理2. \([E:Q] = \varphi(n),\)且\(\zeta\)的极小多项式\[\Phi(x) = \prod_{1\le v \le n;(v,n)=1}(x - \zeta^v).\] 这里\(\Phi(x)\)称为分圆多项式，\(E=Q(\zeta)\)称为分圆域。

推论. \(x^n - 1\)在Q上有分解式\[x^n - 1 = \prod _{d|n} \Phi_d(x).\]
利用莫比乌斯函数也可以用\(x^d - 1\)表示分圆多项式. 定义如下：\[\mu (n) = \begin{cases} 1,&n=1,\\(-1)^r,&n=p_1p_2\cdots p_r,p_i\text{为互异素数},\\0,& n\text{有平方因子}.\end{cases}\]
性质：当\(n > 1\)时, \[\sum_{d|n} \mu (d) = 0.\]
定理. \[\Phi_n(x) = \prod_{d|n} (x^d - 1) ^{\mu(\frac n d)}.\]

    所属分类：抽象代数     发表于2021-12-16