完全域，本原元素

定义. 如果域F使得\(F[x]\)中每个不可约多项式都是可分的，称F为完全域。

特征为0的域是完全域。因为\(F=F_p(t)\)不是完全域，因为\(x^p-t\)不可分。

定理1. 一个特征为p的域是完全域的充要条件是，F中每个元素都可以开p次方，即\(F=F^p.\)
只需要回顾结论：\(a\in F, x^p-a\)不可约的充要条件是a在F中不能开p次方。

推论1. 有限域是完全的。

推论2. 完全域上的代数扩张还是完全的。
只需要考虑特征为p的域F. 设K/F为代数扩张，任取\(a \in K,\) 只需证明a在K中能开p次方，因此问题化归到中间域\(E=F(a)\)的情形。
E有一个自同态：\(\sigma : x \mapsto x^p.\)在这个自同态下，\(\sigma(E) = \sigma(F) (\sigma(a)),\) 即\(E^p = F^p(a^p) = F(a^p)\) (因为F完全).
另一方面，\(a^p\)在F上的次数等于\(a\)在F上的次数。这是因为\(\sigma\)为同态，所以\(\sigma(f(a))=f(\sigma(a)).\)
综上，\([E^p:F]=[E:F],E^p\subset E.\)所以\(E=E^p\)，故E为完全域。

下面我们考虑对于有限扩张，K/F在什么情况下为单扩张。
定义. 对于有限扩张K/F，如果存在a使得\(K=F(a)\) ,称a为本原元素。
于是，判断有限扩张是否为单扩张，只需要判断是否有本原元素。

有限域的情况时容易的。因为\(q=p^n\)元有限域的非零元素群有\(p^n-1\)元，且构成一乘法子群，由多项式环与多项式函数定理11知此为循环群。设a为循环群的一个生成元，则\(K=F(a)\)是单扩张。得到定理：

定理2. 有限域上的有限扩张都是单扩张。

一般地，我们有：
定理3. 设K/F有限，如果\(K=F(a_1,a_2,\cdots,a_r)\)且\(a_2,\cdots ,a_r\)都是可分元，则K/F是单扩张。
不妨设F是无限域，对r归纳即可。

对于r=2的情形，\(K=F(a,b)\), 可以如下具体构造：
设\(f,g\)分别为a,b极小多项式。并设E/K为\(f(x)g(x)\)的分裂域，f,g所有根为\(a=a_1,\cdots,a_r,b=b_1,\cdots,b_s.\)
考虑关于y的方程\(a_i + y b_j = a_1 + y b_1.(j\ne 1)\)，每对\((i,j)\)至多一个解。所以一定存在c使得\(\forall i,j\ne 1, a_1 + c b_1 \ne a_i + c b_j.\)
令\(\theta = a_1 + cb_1.\)则\(F(a,b)=F(\theta).\)

推论. 有限可分扩张K/F含有本原元素，因而是单扩张。

    所属分类：抽象代数     发表于2021-12-17