迹与范数

这里我们运用线性变换的观点来研究域的扩张。

设K/F为有限扩张。将K视为F上的线性空间,取K/F的一基\(u_1,\cdots ,u_n.\)
K的每个元素a在K上诱导出一个线性变换:\(a_r : x\mapsto ax,x\in K.\)
\(a_r\)在基\(u_1,\cdots ,u_n\)下的矩阵记作A,则有\(a_r(u_1,\cdots ,u_n) =( u_1,\cdots ,u_n)A.\)

定义. (1)\(\lambda,E\)分别表示F上的一个不定元和单位矩阵. 则\(\lambda E -A\)称为a的特征矩阵。
(2) 行列式\(F(\lambda) = |\lambda E -A|\)称为a的特征多项式。
(3) \(tr(A),|A|\)分别称作a的迹与范数,记作\[T_F^K(a) = tr(A),N_F^K(a) = |A|.\]

因为A的迹与范数不依赖于基的选取,可得迹和范数的基本性质(均在K/F上讨论,略去角标):
(1) \(T(ax+by)=aT(x) + bT(y),a,b\in F,x,y\in K;\)
(2) \(N(xy)=N(x)N(y),x,y\in K\);
(3) \(N(ax)=a^nN(x),a\in F,x\in K.\)

引理1. 设\(a\in K,F_1=F(a),r=[K:F_1].\)则有\[T_F^K(a) = rT_F^{F_1}(a),N_F^K(a)=[N_F^{F_1}(a)]^r,F(\lambda)=F_1(\lambda)^r.\]
引理1表明,计算元素a的迹与范数,只需要在其单扩张域内计算即可。

引理2. 设K/F为一个单代数扩张,\(K=F(\theta).f(x)\)为其极小多项式,并设在其分裂域E/F内\(f(x) = (x-\theta_1)\cdots (x-\theta_n).\)
设\(\sigma_i\)是K到E的n个F嵌入,使得\(\sigma_i(\theta) = \theta_i,\)计重数。则\[T_F^K(a) = \sigma_1(a) + \cdots + \sigma_n(a),\]\[N_F^K(a) = \sigma_1(a)\cdots \sigma_n(a).\]
引理3. 设K/F为单代数扩张,\(\theta\)为一本元元素. 于是
(1)若K/F不可分,则\(T_F^K(\theta) = 0.\)
(2)若K/F可分,则\(T_F^K(\theta^i)(i=0,1,\cdots)\)不全为0.

定理1. 设K/F为有限扩张,则迹映射\(T_F^K:K\to F\)是满同态当且仅当K/F可分。

    发表于2021-12-17

完全域,本原元素

定义. 如果域F使得\(F[x]\)中每个不可约多项式都是可分的,称F为完全域。

特征为0的域是完全域。因为\(F=F_p(t)\)不是完全域,因为\(x^p-t\)不可分。

定理1. 一个特征为p的域是完全域的充要条件是,F中每个元素都可以开p次方,即\(F=F^p.\)
只需要回顾结论:\(a\in F, x^p-a\)不可约的充要条件是a在F中不能开p次方。

推论1. 有限域是完全的。

推论2. 完全域上的代数扩张还是完全的。
只需要考虑特征为p的域F. 设K/F为代数扩张,任取\(a \in K,\) 只需证明a在K中能开p次方,因此问题化归到中间域\(E=F(a)\)的情形。
E有一个自同态:\(\sigma : x \mapsto x^p.\)在这个自同态下,\(\sigma(E) = \sigma(F) (\sigma(a)),\) 即\(E^p = F^p(a^p) = F(a^p)\) (因为F完全).
另一方面,\(a^p\)在F上的次数等于\(a\)在F上的次数。这是因为\(\sigma\)为同态,所以\(\sigma(f(a))=f(\sigma(a)).\)
综上,\([E^p:F]=[E:F],E^p\subset E.\)所以\(E=E^p\),故E为完全域。

下面我们考虑对于有限扩张,K/F在什么情况下为单扩张。
定义. 对于有限扩张K/F,如果存在a使得\(K=F(a)\) ,称a为本原元素。
于是,判断有限扩张是否为单扩张,只需要判断是否有本原元素。

有限域的情况时容易的。因为\(q=p^n\)元有限域的非零元素群有\(p^n-1\)元,且构成一乘法子群,由多项式环与多项式函数定理11知此为循环群。设a为循环群的一个生成元,则\(K=F(a)\)是单扩张。得到定理:

定理2. 有限域上的有限扩张都是单扩张。

一般地,我们有:
定理3. 设K/F有限,如果\(K=F(a_1,a_2,\cdots,a_r)\)且\(a_2,\cdots ,a_r\)都是可分元,则K/F是单扩张。
不妨设F是无限域,对r归纳即可。

对于r=2的情形,\(K=F(a,b)\), 可以如下具体构造:
设\(f,g\)分别为a,b极小多项式。并设E/K为\(f(x)g(x)\)的分裂域,f,g所有根为\(a=a_1,\cdots,a_r,b=b_1,\cdots,b_s.\)
考虑关于y的方程\(a_i + y b_j = a_1 + y b_1.(j\ne 1)\),每对\((i,j)\)至多一个解。所以一定存在c使得\(\forall i,j\ne 1, a_1 + c b_1 \ne a_i + c b_j.\)
令\(\theta = a_1 + cb_1.\)则\(F(a,b)=F(\theta).\)

推论. 有限可分扩张K/F含有本原元素,因而是单扩张。

    发表于2021-12-17

分圆域

下面我们主要讨论\(x^n - 1\)在素域P(特征为0或为p)上的分裂域E,并决定次数\([E:P]\)。当\(p|n\)时,因为\(x^n - 1 = (x^{\frac{n}{p}}-1)^p\),我们总假定n与p互素。

首先,求导知\(x^n-1\)在E上只能有单根(如无说明,均考虑特征为0或p的情况,下同)。\(x^n-1\)在E内有n个不同的根,形成一n阶循环群,称为n次单位根。其中的生成元素称作本元n次单位根,恰好有\(\varphi (n)\)个。因此,任取一本元单位根\(\zeta\),有\(E = P(\zeta).\)

再来确定\([E:P]\)次数.
(1) P的特征为p.
设\([E:P] = [E:F_p]=r,\) 则\(E = GF(p^r).\)
我们定义\(p \mod n\)的指数为最小的e使得\(p^e \equiv 1 \pmod n.\)
定理1. \([E:P]=r\)为p模n的指数,且\(\zeta\)的极小多项式\[f(x) = (x-\zeta)(x-\zeta^p)\cdots (x-\zeta^{p^{r-1}}).\]
(2) P的特征为0,即\(P=Q.\)
定理2. \([E:Q] = \varphi(n),\)且\(\zeta\)的极小多项式\[\Phi(x) = \prod_{1\le v \le n;(v,n)=1}(x - \zeta^v).\] 这里\(\Phi(x)\)称为分圆多项式,\(E=Q(\zeta)\)称为分圆域。

推论. \(x^n - 1\)在Q上有分解式\[x^n - 1 = \prod _{d|n} \Phi_d(x).\]
利用莫比乌斯函数也可以用\(x^d - 1\)表示分圆多项式. 定义如下:\[\mu (n) = \begin{cases} 1,&n=1,\\(-1)^r,&n=p_1p_2\cdots p_r,p_i\text{为互异素数},\\0,& n\text{有平方因子}.\end{cases}\]
性质:当\(n > 1\)时, \[\sum_{d|n} \mu (d) = 0.\]
定理. \[\Phi_n(x) = \prod_{d|n} (x^d - 1) ^{\mu(\frac n d)}.\]

    发表于2021-12-16

有限域(Galois域)

有限域又称伽罗瓦(Galois域)。
设K是一个特征为p的有限域,则素域\(F_p\)为其子域。将其视为\(F_p\)上的线性空间,设维数为n,取一组基\(u_1,\cdots, u_n\).于是K中每个元素可以唯一表示为线性组合\[a=a_1u_1+\cdots+a_nu_n,a_i\in F_p.\]所以K恰有\(p^n\)个元素。

非零元素集\(K^*\)有\(p^n-1\)个元素,形成了一乘法群,故每个元素都是\(x^{p^n-1}-1=0\)的根。因此K中每个元素都是\(x^{p^n}-x=0\)的根。另一方面,该方程至多\(p^n\)个根,所以K的元素恰好是\(x^{p^n}-x=0\)的全部根。

定理. 对每个素数p和正整数n,存在唯一的具有\(p^n\)个元素的域,即为\(x^{p^n}-x=0\)在\(F_p\)上的的分裂域。一般记为\(GF(p^n)\).

Frobenius同构. 利用特征为p的性质:\(a^p+b^p = (a+b)^p,\) 可以证明\(GF(p^n)\)的到自身的映射\(\sigma : x \mapsto x^p\)是\(GF(p^n)\)的自同构。特别地,它还是一个\(F_p\)自同构。

推论. \(GF(p^n)\)中每个元素都可以开p次方。

    发表于2021-12-16

嵌入与可分性的关系

定义.
(1) 设K/F有限,E/F正规,且\(F\subset K \subset E.\)设\(L/F\)为一中间域,如果嵌入同态\(\tau : L\to E\)保持F中的元素不动,称\(\tau\)为L到E的一个F嵌入,或F同态。
(2) 对于(1)中条件下的两个中间域\(F\subset L_1\subset L_2\subset K\),各有一个F嵌入\(\tau_1,\tau_2\)且\(\tau_2\)限制在\(L_1\)上时恒等于\(\tau_1\), 则\(\tau_2\)称作\(\tau_1\)在\(L_2\)上的一个开拓。

考虑K/F的中间域L,及L上的一个嵌入\(\tau\), 一个在L上的不可约多项式\(g(x)\).
引理1. 如果\(g(x)\)在K内有一根a,则其在\(\tau\)下的像\(g^{\tau}(x)\)在\(E[x]\)内分裂。
取\(f(x)\)为a在F中的极小多项式,因为E/F正规,\(a\in K\subset E\), 所以\(f(x)\)在E内分裂。另一方面,因为\(g(a)=f(a)=0\), 将它们都视为L上的多项式,因为g不可约,所以\(g|f.\)以\(\tau\)作用于\(f=gh,h\in L[x],\) 因为f在\(\tau\)下不变,所以\(g^{\tau}|f.\)综上,\(g^{\tau}\)在E内也分裂。

引理2. 条件同上。任取\(\alpha \in K,\)则\(\tau\)在L上的不同开拓数\(N(\tau,L(\alpha))\)等于\(\alpha\)在L上的极小多项式的不同根的个数。
取\(g(x)\)为\(\alpha\)在L上的极小多项式,根据引理1,\(g^{\tau}\)在E上分裂,设为\[g^{\tau} = (x-b_1)(x-b_2)\cdots (x-b_r),\ r=[L(\alpha):L].\]一方面,考虑\(\tau\)在\(L(\alpha)\)上任一开拓\(\sigma\),因为\(g(\alpha)=0\),所以\(\sigma(\alpha)\)也一定是\(g^{\tau}\)的根。
因为\(L(\alpha)/L\)是单扩张,且任两个开拓\(\sigma_1,\sigma_2\)限制在L上是相同的。因此,\(\sigma\)被\(\sigma(\alpha)\)唯一确定。
另一方面,如果令\(\sigma(\alpha)=b_i\),我们说明这确实是一个合法的开拓。在分裂域与正规扩张引理2中,若考虑域同构\(\tau:L\to \tau ( L)\),并且\(\alpha , b_i\)分别是两个对应的不可约多项式\(g(x),g^{\tau}(x)\)的根,所以存在(唯一的)同构开拓:\(\sigma : L(\alpha)\to \tau(L)(b_i)\), 并且显然\(\tau(L)(b_i) \subset E.\)

推论. \(N(\tau,L(\alpha))\le [L(\alpha),L],\) 等号成立当且仅当\(\alpha\)是L上的可分元。\(N(\tau,L(\alpha))\)与\(\tau\)的选取无关,等于\(L\to L(\alpha)\)的嵌入数(取\(\tau = id.\) )
定理3. 设K/F有限,E/F正规且包含K. 则K到E内的F嵌入数\(\le [K:F]\),等号成立当且仅当K/F可分。
将K写成单代数扩张链,用归纳法即可。

定理3的证明思路本质上与分裂域的同构开拓定理的证明类似,都是先讨论单扩张的情形,再利用归纳法推广到一般情况。

推论. 设E/F有限正规,G为E的全部F自同构组成的群,则\[|G|\le [E;F]\],等号成立当且仅当E/F可分。

定理4. 设L为有限扩张K/F中间域. 则K/F可分当且仅当K/L,L/F都可分。
这里我们利用嵌入数等式:\[N(F,K)=N(F,L)\cdot N(L,K).\]事实上,定理4对代数扩张也成立。

推论1. 在代数扩张中,可分元素的在四则运算下封闭。
因此,我们可以给出可分闭包的概念:设K/F为代数扩张,用\(K_s\)表示K中全部可分元的集合,则\(K_s\)为一中间域,称为可分闭包。
当F的特征为0时,\(K_s = K.\)
当F的特征为p时,若\(K_s \ne K,\alpha \in K,\) \(\alpha\)在\(K_s\)上极小多项式\(f(x)\)可以写成\(g(x^{p^e})\), g不可约、可分(可分性见可分扩张中的推论).而\(b = a^{p^e}\)是g的根,所以b可分,故\(b \in K_s.\) 所以g只能是\(g(x)=x-b.\) 综上,\(f(x) = x^{p^e}-b.\)
当\(a\notin K_s\)时, \(e\ge 1.\)这种元素叫做\(K_s\)上的纯不可分元素,\(f(x)\)为\(K_s\)上的纯不可分多项式,K称作\(K_s\)的纯不可分扩张。

推论2. 可分多项式的分裂域可分。

定理5. 有限扩张E/F是可分正规的充要条件是E是F上一个可分多项式的分裂域。

    发表于2021-12-16

可分扩张

首先给出有关可分性的定义。
定义. (1)不可约多项式\(p(x)\in F[x]\)称为F上的可分多项式,若p(x)在其分裂域内只有单根。
(2)一般的正次数多项式称为在F上可分的,若其每个不可约因式在F上都是可分的。
(3)设K/F为一代数扩张,\(a\in K.\)若a在F上极小多项式是可分的,称a为F上可分元素。
(4)一个代数扩张称为可分扩张,若每个元素都是可分元素。

可分性与根的重数密切相关。先证明几个引理。

引理1. 设\(f(x) \in F[x],x=a\)是分裂域K内的k(≥1)重根。令c为F的特征。
(1)\(c\nmid k.\)则x=a恰好是\(f'(x)\)的k-1重根。
(2)\(c|k.\)则x=a至少是\(f'(x)\)的k重根。

定理1. 正次数多项式\(f(x) \in F[x]\)在其分裂域内无重根的充要条件是\[(f(x),f'(x))=1.\]
推论1. 不可约多项式\(p(x) \in F[x]\)在其分裂域内有重根的充要条件是\(p'(x)=0.\)
推论2. 在特征为0的域上,不可约多项式都是可分的,从而任何代数扩张都是可分扩张。

对于特征为p的域,如果有一个不可分的不可约多项式\[f(x)=a_n x^n+\cdots+a_0,\]则\(f'(x)=0\),从而次数不是p的倍数的项一定为0,可以写成\[f(x) = a_0 + a_px^p+\cdots +a_{mp}x^{mp}.\]重复此操作,使得\(f(x)\)最终写成\(\psi(x^{p^e}),e\ge 1\),且\(\psi\)是可分的。由此推出:
推论. 特征为p的域上一个不可分的不可约多项式的每个根具有相同的重数,且重数为p的方幂。
这里我们用到了一个恒等式\((a+b)^p=a^p+b^p,\) 从而推出\(x^{p^e}-a=(x-a)^{p^e}.\)事实上,对F中任一个多项式f(x)都有\(f^p(x)=f(x^p).\)

下面给出一个不可分的不可约多项式的例子。令\(F_p=Z/(p),F=F_p(t)\)为一元多项式环的商域,在\(F[x]\)内取\(f(x) = x^p-t\),我们说明这是一个不可约多项式;然后因为\(f'(x) = 0,\)故其有重根,从而是不可分的。
只需证明如下引理:
若F是特征为p的域,\(a\in F.\)
(1)a在F内可以开p次方,则\(x^p - a = (x-b)^p.\)
(2)a不能开p次方,则\(x^p - a\)不可约。进一步,因为其导数等于0,根据推论1,\(x^p - a\)不可分。

    发表于2021-12-13

分裂域与正规扩张

定义. 取定基域F和正次多项式\(f(x) \in F[x],\)如果有一个域扩张E/F满足:
(1) f(x)在E[x]内能完全分解为一次因式的乘积:\[f(x) = c(x-a_1)\cdots (x-a_n);\](2)\(E=F(a_1,\cdots ,a_n).\)
则称E/F为\(f(x)\)的一个分裂域。

定义要求,不仅f(x)在E内能完全分解,而且E恰好是F加上f(x)的根得到的域(不能更大)。我们将证明每个正次数多项式都有一个分裂域,并且在F同构的意义下是唯一的。

定义. 如果\(K_1/F,K_2/F\)为2个域扩张,同构(或同态)\(\eta:K_1\to K_2\)满足限制在F中为恒等映射,则称\(\eta\)为一个F同构(或F同态)。

定理1. 设\(P(x)\in F[x]\)为一不可约多项式。则存在域扩张\(K/F\)使\(P(x)\)在K中有根。
证明:因为\(P(x)\)不可约,所以\((P(x))\)是\(F[x]\)内的极大理想,商环\(F[x]/(P(x))\)构成一域K。则映射\(a\mapsto \bar a = a+ (P(x))\)为一单同态。(详见多项式环与多项式函数
令\(a = \bar x = x + (P(x)),\) 则\(P(a) = \overline{P(x)}=0.\)于是a为P(x)的一根。

定理2. 设\(F(a_1)/F,F(a_2)/F\)是两个单代数扩张,且\(a_1,a_2\)都是不可约多项式\(P(x)\)的根。则存在\(F(a_1),F(a_2)\)的F同构\(\eta\),使得\(\eta(a_1) = a_2.\)
证明:\(F(a_1),F(a_2)\)都F同构于\(F[x]/(P(x))\),且\(a_i\)都与\(\bar x \)对应。

定理3. 每个正次数多项式\(f(x) \in F[x]\)都有一个分裂域。
对\(f(x)\)的次数作归纳法,先取一个不可约因式\(p(x) | f(x)\),利用定理2构造一根,并分解出至少一个一次因式。然后利用归纳假设即可。
注意这里并不要求\(f(x)\)是不可约的。

下面再证明分裂域的唯一性。先解决一些有关同构开拓的问题。
引理1. \(\sigma:F\to F'\)是域同构,则\(\sigma\)可以唯一开拓成一元多项式环上的同构:\(\bar \sigma:F[x]\to F'[y].\)
引理2. \(\sigma:F\to F'\)是域同构,\(F(a),F'(a')\)是两个单代数扩张,且\(a,a'\)分别为不可约多项式\(p(x) \in F[x],p^{\sigma} (y)\in F'[y]\)的根。则\(\sigma\)可唯一开拓成同构\(\sigma ' :F(a)\to F'(a'),a\mapsto a'.\)

定理4.设\(\sigma: F\to F'\)为域同构,\(f(x)\in F[x]\)为一正次数多项式,E和E'分别为\(f(x),f^{\sigma}(x)\)的分裂域,则\(\sigma\)可以唯一开拓成同构\(\sigma':E\to E'.\)
从引理1、引理2到定理4的证明逻辑如下:首先引理1说明域上的同构总可以开拓成多项式环上的同构,而根据定理2,同构的多项式环如果同时商去对应的不可约多项式,得到的单代数扩张也是同构的,此即引理2. 最后对分裂域次数\([E:F]\)进行归纳,每次取\(f(x)\)的一个不可约多项式\(p(x)\)并取一根\(\alpha\),对于F'也取对应的资料,于是根据引理2有单代数扩张的同构开拓:\(F(\alpha)\to F'(\alpha ')\),且E和E'仍是\(F(\alpha),F'(\alpha')\)的分裂域,此时可用归纳假设。

在定理4中若令F'=F,可知分裂域在F同构意义下是唯一的。如果域扩张K/F的两个中间域都是F的分裂域,则它们相等;即K/F的中间域E若为f(x)的分裂域,则E在K的任一个F自同构下保持不变。

最后我们讨论用正规性刻画分裂域。
定义. 一个代数扩张K/F称为正规扩张,满足:当\(F[x]\)中任一不可约多项式在K内有一根时,它在K内可以完全分解成一次因式的乘积。
正规扩张不一定是有限扩张,但要求是代数扩张。对于有限扩张的情形,我们有如下定理:

定理5. 一个有限扩张K/F是正规扩张的充要条件是K为\(F[x]\)中一个多项式的分裂域。

对于无限扩张的情形,我们一般可以通过构造分裂的零化多项式来讨论正规性。

定义. 设K/F是有限扩张,如果K上一个代数扩张E/K满足:
(1)E/F是正规扩张;
(2)若中间域L\((F\subset L \subset E )\)包含K,且L/F正规,则\(L=E.\)
则称E/F为K/F的正规闭包。

    发表于2021-12-13

域的单扩张,代数扩张与有限扩张

一般地,在域K中取定一个子域,将F视为基域、K视为扩域,称K/F为F上的一个域扩张。对于K的一个非空子集S,K中一切包含F和S的子域之交记为F(S).容易看出,F(S)即为F[S]的分式域。
特别地,当S只有一个元素\(\alpha\)时,得到的域\(F(\alpha)\)称为F上的一个单扩张。

定理1. 设K/F为一个域扩张,\(\alpha\in K.\)
(1)若\(\alpha\)在K上是代数的,设\(f(x)\)为其极小多项式,则\(F(\alpha)=F[\alpha]\cong F[x]/(f(x)).\) 这种扩张称为单代数扩张。
(2)若\(\alpha\)在K上是超越的,则\(F[\alpha]\cong F[x],F(\alpha)\cong F(x).\) 这种扩张称为单超越扩张。

在单代数扩张下,若令\(n = deg (f(x)),\)则\(F(\alpha)\)中任一元在极小多项式的迭代下总可以唯一表示成\(1,\alpha,\cdots,\alpha^{n-1}\)的线性组合。

如果将扩域K视为F上的线性空间,则K对F的维数称为扩张K/F的次数,记作\([K:F].\)如果次数有限,称K/F为有限扩张。K对F的一组基也叫做扩张K/F的一组基。于是在单代数扩张下,\(1,\alpha,\cdots,\alpha^{n-1}\)成一基。

对于域扩张K/F中K中任一元\(\alpha\),\(\alpha\)是代数元的定义是存在F中一正次数多项式以其为根,这等价于存在正整数m使得\(1,\alpha,\cdots,\alpha^m\)线性相关。若存在,则最小的正整数m称为\(\alpha\)的次数,即其极小多项式的次数。因此,任一有限扩张K/F一定是代数扩张(K中每个元素都是F上的代数元)。

这就证明了:
定理2. 设K/F为一域扩张,\(\alpha\in K.\) 以下命题等价:
(1) \(F(\alpha)/F\)是代数扩张;
(2) \(\alpha\)在F上是代数的;
(3) \(F(\alpha)/F\)是有限扩张。

下面讨论有限扩张的次数关系。
定理3. 设\(K \supset E \supset F.\)(以下默认K,E,F等字母都代表域.) 则\([K:F]=[K:E][E:F].\) 这里可以理解为等号两端同时有限或无限。

推论1. 域扩张K/F为有限扩张的充要条件是存在一个单代数扩张升链:\[F=F_0\subset F_1\cdots \subset F_r = K,\]使得\(F_{i+1}/F_i\)为单代数扩张。
对扩张次数进行归纳即可。

推论2. 设\(K \supset E \supset F.\)若K/E,E/F都是代数扩张,则K/F也是。
证明:设\(\alpha\in K,g(x)=x^r + a_1 x^{r-1} + \cdots + a_r(a_i \in E)\)为极小多项式。这个极小多项式的系数不一定在F中。我们设法构造一个中间域L,使得\(\alpha \in L,\)且L/F是有限扩张,从而一定是代数扩张,于是\(\alpha\)就是F上的代数元。
因为E/F也是代数扩张,令\(F_0 = F,F_i = F_0(a_1,\cdots , a_i ) ,F_{r+1} = F_r(\alpha)\). 于是\(F=F_0 \subset F_1 \cdots \subset F_{r+1}\)为一单代数扩张升链,故\(F_{r+1}/F\)是有限扩张,且\(\alpha \in F_{r+1}.\)是F上代数元。综上,K/F为代数扩张。

推论2的结论要强于定理3. 定理3说明了有限扩张的复合依然有限,而有限扩张一定是代数扩张,但代数扩张不一定有限。但推论2证明了代数扩张的复合依然是代数的。

推论3. F上的代数元在四则运算下封闭。K/F中F上的代数元全体构成一中间域,称为代数闭包。

    发表于2021-12-13

多项式环与多项式函数

【交换环上的多项式环】
下面假定R为交换幺环。若R是R'的子环且\(1_R = 1_{R'}\),称R'是R的扩环。
任取\(u \in R',R[u]=\{a_0+a_1 u + \cdots a_n u ^n |a_i \in R, 0\le 0 < \infty \}\)构成一子环,称作\(u\)在\(R\)上生成的子环,其中的元素称作\(u\)在\(R\)上的多项式。
如果u的一个多项式\(f(u)=0\),称作u在R上的一个代数关系。

定义1. R为交换幺环,令\(R[[x]]=\{(a_n)=(a_0 , a_1, a_2 , \cdots )|a_i \in R\}\)形成一环,称作R的一元形式幂级数环。
\(R[[x]]\)有一个单位元\(1=(1,0,\cdots)\),可知\(R\cong R_0 =\{(a_0,0,\cdots)|a_0 \in R\}.\)因此R[[x]]可以视为R的扩环。于是以下定义有意义。

定义2. R[[x]]中取\(x = (0,1,0,\cdots )\),则x在R上生成的子环\(R[x]\)叫做R上的一元多项式环。x叫做R上的一个未定元。

以下定理说明:有一个元素生成的环,总是多项式环的同态像。
定理1. 设\(\sigma\)为环R到环S的同态,且\(1_R = 1_S.\) 则\(\forall u \in S ,\sigma\)可唯一扩充成\(R[x]\to S\)的同态\(\sigma_u\),满足\(\sigma_u(x)=u.\)
推论2. 设S为R的扩环且\(1_R = 1_S.\) 则\(\forall u \in S ,\exists R[x]\)的理想\(I\)使得\[R[u]\cong R[x]/I, I \cap R = \{0\}.\]
事实上,\(I\)是u在R上的代数关系之总和。如果\(I=(0)\),称u在R上是超越的(超越元),否则\(\exists f(x) \ne 0,f(u)=0\),称u在R上是代数的(代数元),同时也称u是\(f(x)\)的根。

推广多元多项式上,我们归纳定义\(R[x_1,\cdots , x_n ] = R[x_1,\cdots , x_{n-1}][x_n]\),称为R上n个未定元\(x_1,\cdots , x_n\)的多项式环。
对于\(R'\)中的n个元素\(u_1,\cdots , u_n\), \(x_i\)用\(u_i\)代入得\(R[u_1,\cdots , u_n]=\{f(u_1,\cdots , u_n)|f\in R[x_1,\cdots , x_n ]\}\)是R'的子环,其中的元素称为\(u_1,\cdots , u_n\)在R上生成的子环,一般叫做R上的有限生成环。

一般地,我们有如下结论:
定理3. \(\sigma:R\to S\)是两个交换幺环之间的同态,且单位元映为单位元。给定\(u_1,\cdots , u_n\in S\), 则\(\sigma\)可以唯一扩充成\(\sigma_n:R[x_1,\cdots , x_n]\to S, \sigma_n(x_i)=u_i.\)
推论4. 在定理3条件下,若S为R的扩环,则存在唯一同态\(\sigma = \sigma_n\),使得\(\sigma |_R = id.\) 令\(I=ker(\sigma)\),则\[R[x_1,\cdots ,x_n]/I\cong R[u_1,\cdots , u_n];I\cap R = \{0\}.\]
与一元的情况类似,我们有\(u_1,\cdots , u_n\)代数相关/代数无关的概念。
推论5. 设N为R的理想。令\(\overline{R}=R/N, \overline{R}[y_1,\cdots,y_n]\)为\(\overline{R}\)上n个未定元\(y_1,\cdots,y_n\)的多项式环。则\[R[x_1,\cdots,x_n]/N[x_1,\cdots,x_n]\cong \overline{R}[y_1,\cdots,y_n].\]只需要对自然同态进行扩充即可。

【整环上的一元多项式环】
定理6. 设R是整环。多元多项式环\(R[x_1,\cdots,x_n]\)是整环,且其单位群与R的单位群相同。
定理7.(带余除法) 设R为交换幺环,\(f(x),g(x) \in R[x],g(x)\ne 0,g(x)\)的首系数为单位(可逆)。则存在唯一一对\(q(x),r(x)\in R[x]\)使得\[f(x)=q(x)g(x)+r(x),deg\ r(x) < deg\ g(x).\]
推论8. \(f(x)\in R[x],c\in R.\)则有表式\(f(x)=q(x)(x-c)+f(c).\)
推论9. \(c\in R,f(x)\in R[x]. (x-c)|f(x)\Leftrightarrow f(c)=0.\)

定理10. 在整环R中,n次多项式至多有n个根。
定理中,交换性和无零因子的条件是必要的。反例:\(f(x)=x^2+1,x\in H;g(x)=x^2-1,x\in Z/(8).\)

定理11. 设R为整环,定义\(R^*=R-\{0\}.\)则\(R^*\)的任一有限子群都是循环群。
推论12. 含有q个元素的有限域F中,\(F^*\)是有q-1个元素的循环群,且F恰好是\(x^q-x=0\)的全部根。

定义. 如果整环R满足其任一理想皆为主理想,则称R为主理想整环,简称PID.
定理13. 域上的一元多项式环是PID.

设域F的交换扩环S有相同单位元。设\(u\in S\)为F上的代数元,则\(F(x)/N\cong F(u).\)于是\(N=(f(x))\)由一个首1多项式生成,称其为u在F上的极小多项式。于是\(g(u)=0\Leftrightarrow f(x)|g(x).\)
定理14. F为域,\(f(x)\in F[x],deg\ f\ge 1.\) 以下命题等价:
1. \(f(x)\)不可约;
2. 理想\(f(x)\)为极大理想;
3. \(F(x)/(f(x))\)为一域;
4. \(F(x)/(f(x))\)为一整环;
5. 理想\(f(x)\)为素理想。
推论15. 设S为域F的交换扩环且单位元相同,\(u\in S\)为F的代数元,则以下命题等价:
1. u在F上的极小多项式不可约;
2. \(F[u]\)为一域;
3. \(F[u]\)为一整环.
推论16. S为一整环,且包含子域F。如果S的每个元素都是F的代数元,则S为一域。

【多项式函数】
定义. 设F为域。则映射\(f:F\to F\)称作F上一个函数,构成一交换环\(F^F.\)其中乘法遵循函数乘法而非复合。将F中元素与常函数相对应,可知F为\(F^F\)的子域。于是恒等函数s在F上生成子环\(F[s]\),其中的元素叫做F的多项式函数。

定理17.
(1)当F为无限域时,\(F[s]\cong F[x],\)s在F上是超越的;
(2)当F为q元有限域时,\(F[s]\cong F[x]/I,I=(x^q-x),\)且有\(F^F = F[s].\)

对于多元的情况也有类似的结论。
定理18. \(S=F\times \cdots \times F = F^{(n)}, s_i ((a_1,\cdots , a_n))=a_i.\)
(1)当F为无限域时,\(F[s_1,\cdots ,s_n]\cong F[x_1,\cdots ,x_n],s_1,\cdots ,s_n\)在F上是代数无关的;
(2)当F为q元有限域时,\(F[s_1,\cdots ,s_n]\cong F[x_1,\cdots ,x_n]/I,I=(x_1^q-x_1,\cdots ,x^q_n-x_n)\)且有\(F^{F(n)} = F[s_1,\cdots ,s_n].\)

    发表于2021-11-25

商域和分式环

用整数构造有理数的方法,可以推广到整环上。
【定义】设R是整环。域F称为R的商域,如果满足:
1. R是F的子环;
2. F中每个元素a都可以表示为\(a=\frac b c , c\ne 0,b,c\in R.\)

【定理】每个整环都有一个商域,且在同构意义下唯一。
事实上,只需在\(T=R\times R^*,R^*=R-\{0\}\)上定义等价关系\(\sim : (a,b)\sim (c,d)\Leftrightarrow ad=bc\),再作商集\(F=T/\sim\)即可。至于唯一性,可由以下定理推出:

【定理】设R为整环,F为其一商域,\(\eta: R \to F'\)为单一同态,F'为域。则\(\eta\)可唯一扩充成\(F\to F'\)的单一同态。

下面对整环作商域的方法进行推广,放弃无零因子的条件。
定义R的一个非空子集S如果对乘法运算封闭,称S为一个乘性子集。乘性子集S确定了R的一个理想\(N=\{a\in R| \exists s\in S ,as=0\}\). 如果\(0\notin S\),则\(S \cap N = \emptyset.\)

【定义】设R是交换幺环,S为R的乘性子集,N如上定义。如果有一个交换幺环R'满足如下条件:
1. 存在环同态\(\sigma : R\to R',\sigma(1_R)=1_{R'}\),且\(\forall s \in S, \sigma(s)\)在R'中有逆;
2. \(ker(\sigma) = N\);
3. R'中每个元素\(x = \frac {\sigma(a)}{\sigma(s)}, a\in R, s\in S\).
则称R'为R关于乘性子集S的分式环。

如果S中有0,则N=R,R'={0}. 下设S中无0.

【定理】设R为交换幺环,乘性子集\(0\notin S.\)则R关于S的分式环存在,且同构意义下唯一,记为\(S^{-1}R\)。

    发表于2021-11-25