几何学

以下显示部分文章预览。

圆锥曲线的度量特征

【抛物线的对称轴】
当\(a_{11},a_{12}\)不全为0时，抛物线对称轴为\[a_{11}x+a_{12}y+\frac{a_{11}b_1+a_{12}b_2}{I_1}=0.\]全为0时可以用\(a_{12},a_{22}\)代替之。

求对称轴和抛物线的交点，得到抛物线的顶点O'. 以O'为原点，开口朝向为y'轴正方向，作右手直角坐标系I'.则抛物线方程为\[ax^2 - 2py=0,\ a=I_1,-ap^2=I_3.\]
研究抛物线的一般步骤为：
1. 写出\(A,A_0,I_1,I_2,I_3.\) 求出对称轴方程；
2. 联立对称轴方程与抛物线方程，解出顶点坐标；
3. 代入对称轴的方向向量，求开口朝向；(详见圆锥曲线的仿射特征)
4. 根据顶点和开口朝向向量，建立新坐标系并作图。

【椭圆和双曲线的对称轴】
对于中心型曲线，如果一个方向与其共轭方向垂直，称为主方向。
主方向的方向向量一定是\(A_0\)的特征向量，即方程\[\lambda^2 -I_1 \lambda +I_2=0\]的解。
对于二次曲线不是圆的情况，恰有2个主方向。以曲线的中心和这两个方向建立右手系\(O;\vec{e_1},\vec{e_2}\)，设其对应的特征值分别为\(\lambda_1,\lambda_2\). 则曲线的方程可化为\[\lambda_1 x^2 + \lambda_2 y^2 + c =0,\ c= \frac{I_3}{\lambda_1\lambda_2}.\]
研究中心型曲线的一般步骤：
1. 写出\(A,A_0,I_1,I_2,I_3.\) 解特征方程，得到两个特征根\(\lambda_1,\lambda_2\)；
2. 代入特征根，求解两个特征向量；
3. 利用方程\(F_1(x,y)=F_2(x,y) = 0\)求出曲线的中心；
4. 选取适当的方向使得两个向量成右手系，根据中心和主方向建系并作图。

发表于2021-11-30

圆锥曲线的仿射特征

先约定一些记号。设\(F(x,y)\)的全项矩阵为\[A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&b_1\\a_{12}&a_{22}&b_2\\b_1&b_2&c\end{bmatrix}.\]\[F_1(x,y)=a_{11}x+a_{12}y+b_1,\]\[F_2(x,y)=a_{21}x+a_{22}y+b_2,\]\[F_3(x,y)=b_1 x+b_2 y +c.\]则有\(F(x,y)=xF_1(x,y)+yF_2(x,y)+F_3(x,y).\)

【直线与二次曲线的相交情况】
设直线\(l:\vec{u}(m,n),M_0(x_0,y_0).\)只需考虑关于参数t的二次方程解的个数\[\Phi(m,n)t^2+2[mF_1(x_0,y_0)+nF_2(x_0,y_0)]t +F(x_0,y_0)=0.\]
【中心】
如果点\(M_0(x_0,y_0)\)满足\[F_1(x_0,y_0)=F_2(x_0,y_0)=0\]称为曲线的中心。
【渐进方向】

如果非零向量\(\vec{u}(m,n),\Phi(m,n)=0\)称其代表的直线方向为曲线的渐进方向。

【抛物线的开口朝向】
由以上定义知\((a_{12},-a_{11})\)或\((a_{22},-a_{12})\)可以为抛物线的渐进方向（对称轴）。
\(\vec{u}(m,n)\)为抛物线开口朝向的充要条件是\(I_1(b_1m+b_2n)<0.\)

【直径】
取定非零向量\(\vec{u}(m,n)\)不代表渐进方向。则直线\(l_u : mF_1(x,y)+nF_2(x,y)=0\)称为u代表的方向关于曲线的共轭直径。曲线上平行于u的弦的中点都在\(l_u\)上。

【共轭】
如果两个非零向量\(\vec u ,\vec u'\)满足\[\vec{u}^t A_0 \vec{u}'=0\]称它们代表的直线方向共轭。
如果两条直径的方向共轭，称其为一对共轭直径。

【切线】
根据交点方程的判别式，\(l:M_0(x_0,y_0),\vec{u}(m,n)\)是切线的充要条件是\[\Phi(m,n)\ne 0,\]\[\Phi(m,n)F(x_0,y_0)=[mF_1(x_0,y_0)+nF_2(x_0,y_0)]^2.\]
对于曲线上一点\(M_0(x_0,y_0)\)，过它的切线方程是\[xF_1(x_0,y_0)+yF_2(x_0,y_0)+F_3(x_0,y_0)=0.\]

发表于2021-11-30

用不变量判断二次曲线的类型

设有二次多项式\(f(x,y)=a_{1,1}x^2+2a_{1,2}xy+a_{2,2}y^2+2b_1 x+2b_2 y + c \).定义其二次项矩阵、全项矩阵如下：
\[A_0 = \begin{bmatrix}a_{1,1} & a_{1,2}\\a_{1,2} & a_{2,2} \end{bmatrix},\]\[\overset{\sim}{A} = \begin{bmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} & b_1\\a_{1,2} & a_{2,2}&b_2\\b_1&b_2&c \end{bmatrix}.\]
规定\(F(x,y)\)的(半)不变量如下：\[I_1 = tr(A_0)=a_{1,1}+a_{2,2},\]\[I_2=|A_0|,\]\[I_3=|\overset{\sim}{A}|,\]\[K_1=a_{1,1}c-b_1^2+a_{2,2}c-b_2^2=\sum_{i=1}^2 (a_{i,i}c-b_i^2).\]
利用(半)不变量可以如下判断二次曲线的类型：
【\(I_2>0\) 椭圆型】
\(I_1I_3 <0,\)椭圆
\(I_1I_3>0,\emptyset\)
\(I_3=0,\)一点
【\(I_2<0\) 双曲型】
\(I_3 \ne 0,\)双曲线
\(I_3=0,\)一对相交直线
【\(I_2=0\) 抛物型】
\(I_3\ne 0\)抛物线
\(I_3=0\)讨论\(K_1:\)
\(K_1<0\)：一对平行直线
\(K_1=0\)：一条直线
\(K_1>0:\emptyset.\)

发表于2021-11-11

二次曲面分类与直纹二次曲面

【五种常见的二次曲面】
（1）椭球面 \[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac {z^2}{c^2} = 1\]
（2）单叶双曲面 \[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac {z^2}{c^2} = 1\]
（3）双叶双曲面\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac {z^2}{c^2} = -1\]
（4）椭圆抛物面 \[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 2z\]
（5）双曲抛物面（马鞍面） \[\frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2} = 2z\]

【直纹二次曲面】
由一族直线构成的曲面称为直纹面。以上5种二次曲面中，只有单叶双曲面和双曲抛物面是直纹二次曲面。

【双曲抛物面】
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=2z\)可改写为\((\frac x a - \frac y b )(\frac x a + \frac y b)=2z.\)对任何实数c，平面\(\frac x a - \frac y b =c\)与其交线是一条直线：\[l_c:\begin{cases}\frac x a - \frac y b =c,\\c(\frac x a + \frac y b )=2z.\end{cases}\]
类似可得另一族直母线：\[l_c:\begin{cases}\frac x a + \frac y b =c,\\c(\frac x a - \frac y b )=2z.\end{cases}\]
下面给出直母线的一些性质：
1. S上每个点恰好属于两族直母线的各一条。
2. 同族直母线平行于同一平面，同族直母线异面。
3. 异族直母线相交。
4. 两族没有共同的直母线。
5. S所有直母线都在这两族中。

【单叶双曲面】
\(S: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\)可以改写为
\[(\frac x a + \frac z c) (\frac x a - \frac z c)=(1+\frac y b)(1-\frac y b)\]
所以对任意的不全为0的一对实数s,t可以构造两条直母线：
\[l_{s,t}:\begin{cases}s(\frac x a + \frac z c)=t (1+\frac y b),\\t(\frac x a - \frac z c)=s(1-\frac y b).\end{cases}\]
\[l'_{s,t}:\begin{cases}s(\frac x a + \frac z c)=t (1-\frac y b),\\t(\frac x a - \frac z c)=s(1+\frac y b).\end{cases}\]
具有如下性质：
1. S上每一点恰好属于两类中各一条。
2. S直母线都在两族中。
3. 同族直母线一定异面，任何三条同族直母线不会平行于同一平面。
4. 异族直母线共面。
5. 两族无公共直母线。

【直纹二次曲面的判定方法】
因为直纹二次曲面只有二次柱面、二次锥面、单叶双曲面和马鞍面4种，所以只需要排除其中3种即可证明是另一种。
对于后两种，可以使用以下性质差别：
1. 单叶双曲面存在平行的直母线，双曲抛物面上任两条直母线不平行；
2. 双曲抛物面的同族直母线平行于同一张平面，单叶双曲面的任何三条同族直母线不平行于同一平面。

发表于2021-10-24

旋转面、柱面和锥面

【旋转面】
以\(l\)为轴线，\(\Gamma\)为母线的旋转面记作S. \(M_0 \in l , l // u_0.\)
则\(M\in S\Leftrightarrow \exists M_1 \in \Gamma,\overrightarrow{M_1M}\cdot u_0=0 \land |\overrightarrow{M_0M_1}|=|\overrightarrow{M_0M}|.\)
先用\(\overrightarrow{M_1M}\cdot u_0 = 0\)写出\(M_1\)的坐标，再用\(|\overrightarrow{M_0M_1}|=|\overrightarrow{M_0M}|\)写出S的方程。

【圆柱面】
圆柱面是特殊的旋转面，由一条直线绕与其平行的轴线形成。
仍设轴线\(l,M_0\in l , l // u_0\)，则\(M \in S \Leftrightarrow |\overrightarrow{MM_0} \times u_0 |=|u_0|r.\)
如果已知圆柱面上一点\(M_1\),则有\[|\overrightarrow{MM_0} \times u_0 |=|\overrightarrow{MM_1} \times u_0 |.\]
【圆锥面】
圆锥面是另一种特殊的圆锥面，由直线绕与其相交但不垂直的直线而成。母线与轴线的交点为锥顶\(M_0\)，夹角为半顶角\(\alpha\)。
于是\(|\overrightarrow{M_0M}\cdot u | = |\overrightarrow{M_0M}|\cdot |u|\cos \alpha.\)
如果已知圆锥面上一点\(M_1\)，则
\[\frac{|\overrightarrow{M_0M}|}{|\overrightarrow{M_0M} \cdot u |}= \frac{|\overrightarrow{M_1M}|}{|\overrightarrow{M_1M} \cdot u |}\]
【柱面】
由一族互相平行的直线组成的图形称为柱面。这些直线称为直母线。如果柱面上一条曲线与每条直母线都相交，则称为准线。
设柱面S平行于\(u\)，一条准线为\(\Gamma\).则\(M\in S \Leftrightarrow\)过\(M\)且平行于\(u\)的直线与\(\Gamma\)相交。
设\(u(x_1,y_1,z_1),\Gamma:F(x,y,z)=G(x,y,z)=0\).则柱面方程可由\(F(x+tx_1,y+ty_1,z+tz_1)=G(x+tx_1,y+ty_1,z+tz_1)=0\)解出。

【锥面】
由一族过同一点\(M_0\)的直线构成的曲面称为锥面，这些直线称为直母线，\(M_0\)称为锥顶，曲面上不过锥顶且和每条直母线相交的曲线称为准线。
如果一个点不是锥顶，则其在锥面上的充要条件是其与锥顶所在直线与准线相交。
设\(M_0(x_0,y_0,z_0),\Gamma:F(x,y,z)=G(x,y,z)=0.\)则锥线方程可由\[F((1-t)x_0+tx,(1-t)y_0+ty,(1-t)z_0+tz)=0\]\[G((1-t)x_0+tx,(1-t)y_0+ty,(1-t)z_0+tz)=0\]给出。

发表于2021-10-24

涉及直线与平面的度量关系

【距离】
点到平面的距离
\(\pi :Ax+By+Cz+D=0,M(x_0,y_0,z_0),\vec{n}=(A,B,C),\forall P \in \pi\)
\[d(M,\pi)=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{|\vec{n}|}=\frac{|\vec{n} \cdot \overrightarrow{MP}|}{|\vec{n}|}\]

异面直线距离
\[d(l_1,l_2)=\frac{(u_1,u_2,\overrightarrow{M_1M_2})}{|u_1\times u_2|}\]

点到直线的距离
\[d(P,l)=\frac{|\overrightarrow{PM_0}\times \vec{u}|}{|\vec{u}|}\]

【夹角】
两平面夹角\[\theta = \arccos(|\cos \langle n_1,n_2\rangle| )\]
两直线夹角\[\theta = \arccos(|\cos \langle u_1,u_2\rangle| )\]
直线与平面夹角\[\theta = \arccos(|\sin \langle u,n\rangle| )\]

发表于2021-10-18

平面与直线的方程

【平面方程】
参数方程
已知一点和两向量\(M_0,\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\). 则\(M \in \pi \Leftrightarrow \overrightarrow{MM_0},\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\)共面，可以写为\(M=M_0 + s\overrightarrow{u_1}+t\overrightarrow{u_2}\)，其中点表示坐标，s和t为参数。

一般方程：\(Ax+By+Cz+D=0\)
如果已知三点，可以代入求解方程。
如果已知一点\(M_0\)两向量\(a,b\)，可以再用“三向量共面”的条件：\[\begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\x-M_x & y-M_y & z- M_z\end{vmatrix} = 0.\]
一般情况下，用以上行列式求解平面方程是比较方便的。对于已知三点和已知两点一向量的情况，均可以转化为这种情形。
平面方程的前三个系数可以视为构成法向量，与平行于平面的向量具有如下性质：
定理1. \(\vec{a} // \pi\)的充要条件是\(\vec{a}\cdot (A,B,C)=0.\)

【直线方程】
常见的直线方程有参数方程、标准方程和一般方程。
对于已知一点一向量与已知两点的情况，都可以转化为前者，然后写出参数方程或标准方程（此二种统称为点向式方程）：
参数方程\[\begin{cases}x=x_0+tX\\y=y_0+tY\\z=z_0+tZ\end{cases}\]
标准方程\[\frac{x-x_0}{X}=\frac{y-y_0}{Y}=\frac{z-z_0}{Z}\]
其中\(X,Y,Z\)可以形式上等于0，表示该方向上的方向向量为0。

直线也可以视作两平面的交线。这里可以用两个平面方程确定一个直线方程，称为一般方程：\[\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{cases}\]
相对而言，一般方程的求解更为容易，但比点向式方程缺乏几何直观。如果已知某个一般方程，可以直接给出直线的方向向量：\[\vec{u}=(\begin{vmatrix}B_1&C_1\\B_2&C_2\end{vmatrix},\begin{vmatrix}C_1&A_1\\C_2&A_2\end{vmatrix},\begin{vmatrix}A_1&B_1\\A_2&B_2\end{vmatrix}).\]

【直线和平面的位置关系】
直线与平面有三种位置关系：相交、直线在平面上、无交点，后两种统称为平行。一般直线与平面的关系问题都可以转化为代数方程求解。
若已知直线的一般方程，可以用共轴平面系来表示所有经过此直线的平面方程：
\[\lambda\pi_1+\lambda\pi_2=0,\lambda_1^2+\lambda_2^2\ne0.\]
【直线和直线的位置关系】
直线与直线有四种位置关系：异面、相交、平行（不重合）、重合，后三者统称为共面，后二者统称为平行。
\[l_1//l_2 \Leftrightarrow u_1//u_2,\] \[l_1,l_2\text{共面}\Leftrightarrow(u_1,u_2, \overrightarrow{M_1M_2})=0,\] \[l_1,l_2\text{重合}\Leftrightarrow u_1,u_2, \overrightarrow{M_1M_2}\text{共线}.\]

发表于2021-10-10

向量的二重外积与混合积

【二重外积】
若无特殊说明，本文中的\(a,b,c,d\)均代表向量，坐标指任一仿射坐标系中的坐标。对于要求（右手）直角坐标系的情况，会特别标注。

二重外积：
\((a \times b) \times c = (a\cdot c )b - (b \cdot c)a,\)
\(a \times (b \times c) = (a\cdot c)b - (a \cdot b)c.\)
以\(a,a \times b\)为\(e_1,e_3\)建立直角坐标系证明。

【混合积】
\((a,b,c)=(a\times b)\cdot c\).
性质：
1. \((a,b,c) = 0 \Leftrightarrow a,b,c\)共面
2.\((a,b,c)>0 \Leftarrow a,b,c\)构成右手系
3. \((a,b,c) = (b,c,a)=(c,a,b)\)
4. \((a,b,c)=-(b,a,c)\)
5. \[(a,b,c)=\begin{vmatrix}a_1 &a_2& a_3\\b_1& b_2& b_3 \\c_1& c_2 &c_3 \end{vmatrix}(e_1,e_2,e_3).\]特别地，在右手直角坐标系中，基向量的混合积为1，可直接用行列式计算混合积。

发表于2021-10-04

向量的内积与外积

·向量的投影
非零向量\(\vec{e}\)，则任意向量\(\vec{x} = p_e(\vec{x})+\overline{p_e}\vec{x}\)，分别称为\( \vec{x}\)对\(\vec{e}\)的内投影和外投影。均具有双线性性。

·向量的内积
定义向量\(\vec{x},\vec{y}\)的内积为\[\vec{x} \cdot \vec{y} = |\vec{x}||\vec{y}|cos\left \langle \vec{x} , \vec{y}\right \rangle. \] 其中\( \left \langle \vec{x} , \vec{y}\right \rangle\)表示两向量夹角。若其中有零向量，则补充定义内积为0.

内积性质（欧式空间内积的三个条件）：
1. 对称性
2. 正定性
3. 双线性性

外积性质：
1. 双线性性
2. 反对称性：\(\alpha \times \beta = - \beta \times \alpha .\)
3. \( \alpha \times\beta = 0 \Leftrightarrow \alpha \parallel \beta. \)

坐标法计算外积
设\(\vec{a} = (a_1,a_2,a_3), \vec{b} = (b_1,b_2,b_3)\)，则 \[\vec{a} \times \vec{b} = ( \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} , a_3 & a_1 \\ b_3 & b_1 \end{vmatrix} , \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} ) \]

发表于2021-09-22

向量运算的常用定理与恒等式

定理1（向量分解定理i）：如果\( \vec{a},\vec{b}\)不共线，则\(\vec{a},\vec{b},\vec{c} \)共面的充要条件是 \(\vec{c} \) 可对\(\vec{a},\vec{b}\)分解（且此时分解式唯一）。

定理2（向量分解定理ii）：若\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\)不共面，则\(\forall \vec{u}\)，对\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\)存在唯一分解。

命题3：\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\)共面的充要条件是存在不全为0的\( r,s,t\)，使得\[ r\vec{a}+s\vec{b}+t\vec{c} = 0.\]

命题4：任意四点\(O,A,B,C\)，\(A,B,C\)共线当且仅当 \(\exists r,s,t\), \[r+s+t=0 \land r\overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{OB}+t\overrightarrow{OC}=0 .\]

推论5：若\( O,A,B\)不共线，则\(A,B,C\)共线的充要条件是 \(\exists s,t \),\[ s+t = 1 \land \overrightarrow{OC}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}. \]

命题6:简单比的几个恒等式
i.\( \overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB} \Rightarrow (A,B,C) = \frac{\lambda}{1-\lambda}.\)
ii.\( (A,B,C)(B,A,C)=1. \)
iii.\( (A,B,C) + (A,C,B)=-1.\)

命题7:用行列式解决共线、共面问题
i. \( \vec{a}(x_1,x_2,x_3),\vec{b}(y_1,y_2,y_3),\vec{c}(z_1,z_2,z_3)\)共面当且仅当 \[ \begin{vmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \\ z_1 & z_2 & z_3 \end{vmatrix}=0. \] ii. \( \vec{a}(x_1,x_2),\vec{b}(y_1,y_2)\)共线当且仅当 \[ \begin{vmatrix} x_1 & x_2\\ y_1 & y_2 \end{vmatrix}=0. \] iii. \( \vec{a}(x_1,x_2,x_3),\vec{b}(y_1,y_2,y_3)\)共线当且仅当 \[ \begin{vmatrix} x_1 & x_2\\ y_1 & y_2 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} x_2 & x_3\\ y_2 & y_3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} x_3 & x_1\\ y_3 & y_1 \end{vmatrix}=0. \] iv. \(A(a_1,a_2),B(b_1,b_2),C(c_1,c_2)\)共面当且仅当 \[ \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=0. \]

发表于2021-09-17