随机变量与概率分布

随机变量的定义
设\((\Omega,F,P)\)是概率空间，\(X: \Omega \to R,\omega\mapsto X(\omega)\)是实值函数。
如果对\(\forall x\in R,\{\omega|X(\omega)\le x \}\in F\)，称\(X\)是\((\Omega,F,P)\)上的随机变量。

随机变量是基本事件\(\omega\)的函数。\(X=X(\omega)\)的值未必能预先确定，但是\(\{\omega|X(\omega)\le x \}\)是有确定概率的。

随机变量的分布函数定义为\(F(x) = P(X\le x).\)
\(F(x)\)具有单调性和右连续性：\(F(x+0)=F(x)\), 但做连续性未必成立。这由X的定义可以看出。
此外，\(F(x)\)还满足\(F(-\infty)=0,F(+\infty)=1.\)这里的广义自变量依极限理解。
性质：\(P( X < x ) = F(x-0)\);
\(P(a < X \le b) = F(b)-F(a)\);
\(P(a \le X \le b) = F(b)-F(a-0)\);
\(P( a < X < b)= F(b-0) - F(a)\).

随机变量的分布一般属于离散型与连续型两种。
a) 对于随机变量X，如果X的取值是至多可列的，设其取值范围是\(\{x_k\}\),则称\(p_k = P(X=x_k)\)为X的概率函数或概率分布律。
b) 对于随机变量X，如果存在非负函数\(p(x)\)使得对\(\forall (a,b)\subset R,P(a< X < b) = \int_a^b p(x)dx.\)称X为连续性随机变量，并称\(p(x)\)为X的分布密度或概率密度。

定理1. 如果随机变量X的分布函数\(F(x)\)的导数处处存在，则X是连续性随机变量，且\(p(x) = F'(x).\)

常见的概率分布：
{离散型}
1. 两点分布
X的可能值是0和1，且\(P(X=1)=p,P(X=0)=1-p.\)称X服从两点分布（伯努利分布）。

2. 二项分布
X的可能值是0,1,...,且\[P(X=k)=C_n^k p^k (1-p)^{n-k}.\] 记作\(X\sim B(n,p).\)在独立试验序列中，概率为p的事件重复n次，恰发生k次的概率即为\(P(X=k)\).

3. 泊松分布
X=0,1,...,且\[P(X=k)=\frac{1}{k!}\lambda^k e^{-\lambda}.\]可以视为二项分布当\(np\to \lambda\)时的极限。

4.超几何分布
\[P(X=k) = \frac{C_D^kC_{N-D}^{n-k}}{C_N^n}.\]设N个产品中有D个次品，任取n个，其中恰有k个次品的概率。

5.负二项分布
\[P(X=k) = C_{k-1}^{r-1}p^r(1-p)^{k-r}.\]向一个目标射击，命中概率为p，第k次射击恰好射中第r次的概率。若令r=1称为几何分布。

{连续型}
6. 指数分布
\[p(x) = \lambda e^{-\lambda x}(x > 0)\]这里\(\lambda > 0. x\le 0\)时定义为0.
性质(无记忆性)：\(P(X > s + t | X > s) = P(x > t).\)

7. 正态分布
\[p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} e^{- \frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2}.\]记作\(X\sim N(\mu , \sigma^2).\)当\( X\sim N(0,1)\)时，称作标准正态分布。此时\(p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac {x^2}{2}}.\)

    所属分类：概率与统计     发表于2022-01-22