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拉格朗日乘子法与KKT条件
考虑具有\(m\)个等式和\(n\)个不等式约束的优化问题。
设可行域\(\mathbb D\subset \mathbb R^d\), 优化函数\[\min_x\quad f(x)\]\[s.t.\quad\quad h_i(x)=0,\quad g_j(x)\le 0.\]
引入拉格朗日乘子\[\lambda = (\lambda_1,\cdots,\lambda_m)^T, \quad\mu= (\mu_1,\cdots,\mu_n)^T\]
优化的拉格朗日函数为\[L(x,\lambda,\mu)=f(x) +\sum_{i=1}^m\lambda_ih_i(x)+\sum_{j=1}^n \mu_jg_j(x)\]
其KKT条件为\[\begin{cases}\nabla f(x) + \sum\lambda_i\nabla h_i(x) + \sum\mu_j \nabla h_j(x)=0\\h_i(x)=0\\ g_j(x)\le 0;\\ \mu_j\ge 0;\\ \mu_jg_j(x) = 0.\end{cases}\]
发表于2022-05-11
Theorem. \[\sin x = x \cdot \prod _{k=1}^{+\infty}[1-\frac{x^2}{(k\pi)^2}].\]
Proof.
对于\(x\in\mathbb R,n\ge 0 \),令\[I_n(x) = \int_0^{\pi/2}\cos^n \xi\cdot \cos(x\xi)d\xi.\]
首先证明：\[I_{n-2}(x) = \frac{n^2-x^2}{n(n-1)}I_n(x), \quad n\ge 2,x\ne 0.\]
由\(I_n(x) = \frac 1 x \int_0^{\pi/2}\cos^n\xi d(\sin(x\xi))\)
\(=\frac{\cos^n\xi\cdot \sin(x\xi)}{x}|^{\pi/2}_0+\frac n x \int_0^{\pi/2} \cos^{n-1}\xi\cdot \sin \xi\cdot \sin(x\xi)d\xi\)
\(=-\frac n {x^2} \int _ 0 ^{\pi/2}\cos^{n-1}\xi\cdot \sin \xi d(\cos(x\xi))\),
可得\(xI_n(x) = -\frac n x \int_0 ^{\pi/2}\cos^{n-1}\xi\cdot \sin \xi d(\cos(x\xi))\)
\(=-\frac n x \cos^{n-1}\xi\cdot \sin \xi \cdot\cos(x\xi)|^{\pi/2}_{0}+ \frac n x \int_0^{\pi /2}[-(n-1)\cos^{n-2}\xi\sin^2\xi+\cos^n\xi]\cos(x\xi)d\xi\)
\(=\frac n x \int_0^{\pi/2}[-(n-1)(1-\cos^2\xi)\cos^{n-2}\xi\cdot\cos(x\xi)+\cos(x\xi)\cdot\cos^n\xi]d\xi\)
\(=\frac n x\{ -(n-1)[I_{n-2}(x) - I_n(x)] + I_n(x)\}\)
整理得\((n^2-x^2)I_n(x) - n(n-1)I_{n-2}(x) = 0.\)
再证明：\[I_n(0) = \frac{n-1}{n}I_{n-2}(0).\]
与上一结论类似，
\(I_n(0) = \int_0^{\pi/2}\cos^n\xi d\xi\)
\(=\int_0^{\pi/2}\cos^{n-1}d(\sin\xi)\)
\(=\cos^{n-1}\xi\cdot\sin\xi|^{\pi/2}_{0}+(n-1)\int_0^{\pi/2}\sin^2\xi\cdot\cos^{n-2}\xi d\xi\)
\(=(n-1)\int_0^{\pi/2}(1-\cos^2\xi)\cos^{n-2}\xi d\xi\)
\(=(n-1)(I_{n-2}(0)-I_n(0)),\) 整理即得。
回到原题，不妨设\(x\ne 0\)，我们有
\(I_0(x) = \int_0^{\pi/2}\cos(x\xi)d\xi\)
\(=\frac 1 x \int_0^{\pi/2}\cos (x\xi)d(x\xi)\)
\(=\frac{\sin\frac{\pi}{2}x}{x}.\)
令\[P_n(x) = \prod_{k=1}^n [1-\frac{x^2}{(2k)^2}],\quad Q_n(x) =\frac{I_n(x)}{I_n(0)}.\]
则\(\sin\frac{\pi}{2}x= x\cdot I_0(x) \)
\(=\frac{\pi}{2} x\cdot\frac{I_0(x)}{I_0(0)}\)
\(=\frac{\pi}{2} x\cdot(1-\frac{x^2}{2^2})\frac{I_2(x)}{I_2(0)}\)
\(=\cdots = \frac{\pi}{2} x\cdot P_n(x)\cdot Q_{2n}(x).\)
只需证明：无穷乘积\(P_n(x)\)收敛，且\(Q_{2n}(x)\)收敛于1。然后将\(\frac \pi 2 x\)以\(x\)代入即得原结论。
无穷乘积\(P_n(x)\)的收敛性由\(\sum\limits_{k=1}^\infty \frac {x^2}{(2k)^2}\)收敛且同号给出。对于\(Q_{2n}(x)\)，我们有
\(0\le I_n(0)-I_n(x) = \int_0^{\pi/2}(1-\cos\xi)\cos^n\xi d\xi\)
\(=\int_0^{\pi/2}2\sin^2\frac{x\xi}{2}\cos^n\xi d\xi\)
\(\le\frac{x^2}{2}\int_0^{\pi/2}\xi^2\cos^n\xi d\xi\)
\(=\frac{x^2}{2}\int_0^{\pi/2}(\xi\cos\xi)\cdot(\xi\cos^{n-1}\xi) d\xi\)
\(\le \frac{x^2}{2n}\int_0^{\pi/2}n\xi\cos^{n-1}\xi\cdot\sin\xi d\xi\)(利用不等式\(\tan \xi \ge \xi \to \xi\cos \xi\le\sin\xi\))
\(=\frac{x^2}{2n}(-\xi\cos^n\xi |^{\pi/2}_0+\int_0^{\pi/2}\cos^n d\xi)\)
\(=\frac{x^2}{2n}I_n(0)\to 0(n\to+\infty).\)
两边同时除以\(I_n(0)\)，明欲所证。
发表于2022-05-10
· \(\Gamma\)函数：\[\Gamma(s) = \int_0 ^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}dx.\]定义域：\((0,+\infty).\)
性质.
(1) \(\Gamma(s+1) = s\cdot \Gamma(s).\) 特别地，对于正整数k有\(\Gamma(k+1) = k!.\)
(2) \[\Gamma(s) = 2 \int_0^{+\infty} x^{2s-1}e^{-x^2}dx.\]
(3) \(\Gamma(s) \in C^\infty (0,+\infty).\)
(4) \(\Gamma(s),\ln \Gamma(x)\)都是严格凸函数。
·\(B\)函数：\[B(p,q) = \int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx.\]
定义域：\((p,q)\in R^2_+.\)
性质.
(1) \(B(p,q)=B(q,p).\)
(2) \[B(p,q) = \frac{p-1}{p+q-1}B(p-1,q).\]
(3) \[B(p,q) = 2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2p-1}\theta\sin^{2q-1}\theta d\theta.\]
(4) \[B(p,q) = \int_0^{+\infty}\frac{x^{q-1}}{(1+x)^{p+q}}dx.\]
·\(\Gamma\)函数与\(B\)函数的关系
(1)\[B(p,q) = \frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}.\]推论：\(B(p,q)\)在定义域内存在任意次偏导数。
(2) 余元公式：\[B(p,1-p) = \Gamma(p)\Gamma(1-p) = \frac{\pi}{\sin\ p\pi}.\]
发表于2022-01-28
这里我们只给出曲线积分和曲面积分的常用计算方法，略去严格定义和一般情况的计算。
第一型曲线积分
设光滑曲线\[\Gamma:\begin{cases} x=x(t),\\ y=y(t),(a\le t\le b) \\ z=z(t) \end{cases}\]再设\(f(x,y,z)\)在\(\Gamma\)上连续。
则\[\int_\Gamma f(x,y,z)ds = \int_a^b f(t)\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2 + z'(t)^2}dt.\]
第二型曲线积分
设光滑曲线\(\Gamma:\overset{\frown}{AB}\)，有同上的参数方程。又设\(P,Q,R\)为关于\((x,y,z)\)的函数在其上连续。
则\[\int_{\widehat{AB}}Pdx+Qdy+Rdz = \int_a^b[Px'(t)+Qy'(t)+Rz'(t)]dt.\]
若令\(\vec n = (\cos \alpha,\cos\beta,\cos\gamma)\)为某点处的单位切向量，则第一型与第二型曲线积分具有如下关系：\[\int_{\widehat{AB}}(P,Q,R)\cdot(dx,dy,dz) = \int_{\widehat{AB}}(P,Q,R)\cdot (\vec n )ds.\]
第一型曲面积分
设光滑曲面\[S:\begin{cases} x=x(u,v),\\ y=y(u,v) ,\\ z=z(u,v).\end{cases}\]\((u,v)\in D\)为光滑闭曲面。又设\(f(x,y,z)\)在S上连续。
令\(r(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v))\), 得\(r'_u = (x'_u,y'_u,z'_u),r'_v=(x'_v,y'_v,z'_v).\) 法向量\(\vec n = r'_u \times r'_v.\)
设\(E=r'_u\cdot r'_u, F= r'_u\cdot r'_v, G = r'_v\cdot r'_v.\)则\(EG - F^2 = |\vec n |^2.\)
则\[\iint_S f(x,y,z)dS = \iint_D f(u,v)\sqrt{EG-F^2}dudv.\]
第二型曲面积分
设光滑曲面S有同上的参数方程。选定S的一侧，设任一点处的法向量为\(\vec n = r'_u\times r'_v = (A,B,C).\)
又设向量函数\(f(x,y,z) = (P,Q,R)\)在S上连续。
则\[\iint_S Pdydz +Qdzdx + Rdxdy = \iint_S (P,Q,R)\cdot (A,B,C) dudv.\]
各类积分之间的联系
(1) 格林公式
设\(D\subset R^2\)是有界闭区域，边界由有限条分段光滑的Jordan曲线组成，\(P(x,y),Q(x,y)\)在D上具有连续偏导数。
则有\[\int_{\partial D} Pdx + Qdy = \iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})dxdy.\]
(2) 高斯公式
设\(D\subset R^3\)是有界闭区域，\(\partial D\)是D的外侧，\(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\)在D上具有连续偏导数。
则有\[\iint_{\partial D} Pdydz + Qdzdx + R dxdy = \iiint_D ((\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z})dxdydz.\]
(3) 斯托克斯公式
设\(S\subset R^3\)是光滑双侧曲面，边界由有限条分段光滑曲线组成。给定S的一侧并取\(\partial S\)关于该侧为正向，再设\(P,Q,R\)在包含S的某个区域内具有连续偏导数。
则\[\int_{\partial S} Pdx+Qdy+Rdz= \iint_S (\sum_{cyc}(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z})dydz).\]
(4) 微分形式的斯托克斯公式
\[\int_D d\omega = \int_{\partial D} \omega.\]
发表于2022-01-28
·定理. 设变换\(x(u) = (x_1(u),\cdots,x_n(u)):D\to \Omega\)是两个可求体积的\(R^n\)有界闭区域之间的同胚映射，且各个偏导数都在包含D的区域上连续，在D上有\[\frac{\partial(x_1,\cdots,x_n)}{\partial(u_1,\cdots,u_n)}\ne 0.\]若\(f(x)\)在\(\Omega\)上可积，则有\[\iint\cdots\int_\Omega f(x_1,\cdots,x_n)dx_1\cdots dx_n =\]\[\iint\cdots\int_D f(x_1(u),\cdots,x_n(u))\cdot |\frac{\partial(x_1,\cdots,x_n)}{\partial(u_1,\cdots,u_n)}| du_1\cdots du_n.\]这里\(u = (u_1,u_2,\cdots ,u_n).\)
·一些常见的变量替换
(1) 极坐标变换：\[\begin{cases}x=r\cos\theta,\\ y = r \sin\theta. \end{cases}\]用\(J(r,\theta)\)表示在该点处的Jacobi行列式绝对值，以下类似。则\(J(r,\theta) = r.\)
(2) 柱坐标变换：\[\begin{cases} x=r\cos\theta,\\ y=r\sin\theta, \\z = z.\end{cases}\]\(J(r,\theta,z)=r.\)
(3) 球坐标变换：\[\begin{cases} x=r\sin\varphi\cos\theta,\\ y=r\sin\varphi\sin\theta, \\z = r\cos\varphi.\end{cases}\]\(J(r,\varphi,\theta)=r^2 \sin\varphi.\)
发表于2022-01-26
·单个方程的情形
记\(x = (x_1,\cdots,x_n)\in R^n, y \in R.\)如果\(F(x,y)\)在\((x_0,y_0)\)的局部内有意义, 并且满足条件：
(1)\(F(x_0,y_0)=0\);
(2)\(F(x,y),F'_y(x,y)\)在\((x_0,y)\)的局部内连续；
(3)\(F'_y(x_0,y_0)\ne 0.\)
则存在\(x_0\)的某个邻域，及邻域内的唯一的连续函数\(y=f(x)\)，满足：
(a)\(y_0 = f(x_0)\);
(b)\(F(x,f(x))=0\);
(c)如果还已知F对x的各分量偏导数存在且连续，则\(y=f(x)\)也具有各个连续偏导数，且\[\frac{\partial f(x)}{\partial x_i} = - \frac {F'_i(x,y)}{F'_y(x,y)}.\]
·方程组的情形
设向量函数\[F(x,u)= (F_1(x,u),\cdots, F_m(x,u)),\]在\((x_0,u_0)\)的某邻域内有意义，这里\(x_0\in R^n,u_0\in R^m.\)注意：u的维数与F的维数相同。
如果满足以下条件：
(1)\(F(x_0,u_0) = \vec 0\),即各分量的函数值都为0；
(2) \(f_j(x,u)\)的各个偏导数都在该邻域内存在且连续；
(3) \[\frac{\partial (F_1,F_2,\cdots,F_m)}{\partial(u_1,u_2,\cdots,u_m)}|_{(x_0,u_0)}\ne 0.\]
则存在\(x_0\)的某个邻域，及该邻域内唯一的m维n元向量函数\(f(x) = (f_1(x),\cdots,f_m(x))\)，满足：
(a)\(u_0 = f(x_0)\);
(b)\(F(x,f(x))=\vec 0\);
(c)\(f(x)\)的每个分量函数\(f_j(x)\)在该邻域内存在连续偏导数，记\[A=(\frac{\partial F_i(x,u)}{\partial x_j})\in M_{m\times n},\]\[B=(\frac{\partial F_i(x,u)}{\partial u_j})\in M_{m\times m},\]则\[f'(x)= - B^{-1}\cdot A.\]
·逆映射存在定理
设\(y=(y_1,\cdots,y_n)=(f_1(x),\cdots , f_n(x))=f(x):D\to \Omega\)是两个\(R^n\)区域之间的\(C^1\)映射。如果在某点\(x_0\)处的Jacobi行列式非零，则存在\(x_0\)的一个邻域使得y是该邻域内的局部同胚。
发表于2022-01-23
1. 如果\(f(x)\)在区域内一点\(x\in D\)可微，则一定在这点连续，且各个方向的偏导数都存在。若\(df(x_0)=\sum_{i=1}^n A_i\Delta x_i\), 则\(\frac{\partial f(x_0)}{\partial x_i}=A_i.\) 但可微性不能推出偏导数在该点连续。
2. 如果已知各个方向偏导数都存在，不能得到函数在该点连续或可微的结论。但若已知\(f(x)\)在\(x_0\in D,U(x_0,\delta_0)\)内的各个偏导数存在，且都在\(x_0\)处连续，则\(f(x)\)在\(x_0\)处可微。
3. 如果\(f(x)\)在\(x_0\in D\)处可微，则\(f(x)\)沿方向\(v=(\cos\theta_1 ,\cdots , \cos \theta_n )\)的方向导数为\[\frac{\partial f(x_0)}{\partial v}=\sum_{i=1}^n \frac{\partial f(x_0)}{\partial x_i}\cos\theta_i.\]
4. 如果\(f''_{kj}(x),f''_{jk}(x)\)在某点\(x_0\)处均存在且连续，则\[f''_{kj}(x_0)=f''_{jk}(x_0).\]
发表于2022-01-20
【微分中值定理】
1. Fermat定理
若\(x_0\)是\(f(x)\)的极值点且在该点导数存在，则\(f'(x_0)=0.\)
2. Rolle定理
设\(f(x)\in C[a,b],D(a,b).f(a)=f(b).\)则存在\(\zeta \in (a,b),f'(\zeta)=0.\)
3. Lagrange定理
设\(f(x)\in C[a,b],D(a,b).\)则存在\(\zeta \in (a,b),\)\[f'(\zeta)=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}.\]
推论：导数有界的函数一致连续；反之未必成立\((f(x)=x^{\alpha},\alpha\in(0,1)).\)
4. Cauchy定理
设\(f(x),g(x)\in C[a,b],D(a,b),g'(x)\ne 0.\)则\(\exists \zeta \in (a,b),\)\[\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\zeta)}{g'(\zeta)}.\]
【洛必达法则】
\(\frac 0 0 \)型不定式
设\(f(x),g(x) \in D(U_0(a,\delta))\)，且满足：
1. \(\lim_{x\to a}f(x) = \lim_{x\to a} g(x) = 0\);
2. \(g'(x)\ne 0\);
3. \(\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = l,l \in \bar{R}.\)
则有\[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = l.\]
对\(a\to \pm\infty\)和\(\frac{\infty}{\infty}\)等情况也有类似结论。
【泰勒公式】
1. Peano余项
设\(f(x)\)在\(x_0\)处具有n阶导数。\[f(x)=f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0)+\cdots +\frac {f^{(n)} (x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\]\[o((x-x_0)^n)\ (x\to x_0).\]
2. Lagrange余项
设\(f(x) \in C^n [a,b],D^{n+1}(a,b).\forall x,x_0 \in [a,b],\)\[f(x)=f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0)+\cdots +\frac {f^{(n)} (x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\]\[\frac {f^{(n+1)} (\zeta)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} ,\zeta \in (x,x_0).\]
附：常见展开式
\[e^x = 1+x +\frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac {x^n}{n!}+\frac{e^{\theta x}}{(n+1)!}x^{n+1}.\] \[\sin x = x -\frac{x^3}{3!} + \cdots + (-1)^{n-1} \frac {x^{2n-1}}{(2n-1)!}+(-1)^n \frac{\cos {\theta x}}{(2n+1)!}x^{2n+1}.\]\[\cos x = 1 -\frac{x^2}{2!} + \cdots + (-1)^{n} \frac {x^{2n}}{(2n)!}+(-1)^{n+1} \frac{\cos {\theta x}}{(2n+2)!}x^{2n+2}.\] \[\ln (1+x) = x - \frac{x^2}{2} +\cdots +(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+(-1)^n\frac{x^{n+1}}{(n+1)(1+\theta x)^{n+1}}\] \[(1+x)^{\alpha} = 1+\alpha x + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2!}x^2 + \cdots + \] \[\frac{\alpha(\alpha -1)\cdots (\alpha - n +1)}{n!}x^n + \frac{\alpha(\alpha -1)\cdots (\alpha - n) }{(n+1)!}(1+\theta x)^{\alpha - n - 1}x^{n+1}\]
【利用导数研究函数】
{达布定理} 导函数具有介值性。
定义 凸函数：\(\forall x_1,x_2\in I,\forall t \in (0,1),\)\[f(tx_1+(1-t)x_2)\le tf(x_1)+(1-t)f(x_2).\]
等价定义：\(\forall x_1\le x_3\le x_2,\)成立\[\frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1}\le \frac{f(x_2)-f(x_3)}{x_2-x_3}.\]
定理. 如果\(f(x)\in C[a,b],D(a,b),\)则\(f(x)\)是凸函数对充要条件是\(f'(x)\)单调递增。
定义. 改变函数凹凸性的点称为拐点。
定理. 若\(f(x)\)二阶可导，则在拐点二阶导数为0；若\(f''(x_0)=0,f'''(x_0)\ne 0,\)则\(x_0\)是拐点。
发表于2021-11-27
【四则运算】
1. \((f+g)'=f'+g'\);
2. \((fg)'=f'g+g'f\);
3. \((\frac{f}{g})'=\frac{f'g-fg'}{g^2}.\)
【反函数】
严格单调的函数\(y=f(x)\),有\[\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}.\]例：\(y=\arctan x, y'=\frac{1}{x'_y}=\frac{1}{(\tan y)'}=\frac{1}{\frac{1}{\cos^2 y}}=\frac{1}{1+\tan^2 y}=\frac{1}{1+x^2}.\)
【复合函数】
\(F(x)=f(g(x)),F'(x_0)=f'(g(x_0))g'(x_0).\)也可记为\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}.\)
【隐函数】
一般需要先证明一一对应成立。然后将\(y=f(x)\)视为关于x的函数，对\(F(x,y)=0\)求导，解出\(y'=f'(x)\)的表达式。
常见的一个应用是对数求导法。在\(y=f(x)\)中取对数，\(\ln y = \ln f(x),\frac{y'}{y}=\frac{f'(x)}{f(x)}.\)
【参数方程】
设有参数方程\[\begin{cases} x= x(t),\\y=y(t).\end{cases}\]且满足\(x'(t)\ne 0.\)
则有\[y'(x)=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=\frac{y'(t)}{x'(t)}.\]
【极坐标方程】
设有极坐标方程\(r=r(\theta)\).转化为参数方程形式，得\[\begin{cases} x=r(\theta)\cos \theta,\\y=r(\theta)\sin \theta.\end{cases}\]假设有\(x'(\theta)\ne 0,\)则\[\frac{dy}{dx}= \frac{r'(\theta)\sin\theta +r(\theta)\cos\theta}{r'(\theta)\cos\theta -r(\theta)\sin\theta}\]
推论：向径与切线的夹角满足\(\tan \beta = \frac{r(\theta)}{r'(\theta)}.\)
【高阶导数】
\((\sin x)^{(n)}= \sin ( x + \frac{n\pi}{2}) ,(\cos x)^{(n)}= \cos ( x + \frac{n\pi}{2}).\)
莱布尼茨公式：\[(u\cdot v)^{(n)} = \sum_{k=0}^n C_n^k u^{(k)}v^{(n-k)}.\]
发表于2021-11-26
【数列上、下极限的几个等价定义】
记\(\varlimsup_{n\to\infty}a_n,\varliminf_{n\to\infty}a_n\)分别为\(\{a_n\}\)的上、下极限。有如下几个等价定义：
1. \(\varlimsup a_n = \inf_n\{\sup_{k\ge n}a_k\},\varliminf a_n = \sup_n\{\inf_{k\ge n}a_k\}.\)
2. \(\forall \epsilon >0,\exists N,\forall x>N,x_n\le h+\epsilon;\forall K,\exists n_K>K,x_{n_K}>h-\epsilon \) 当且仅当h为上极限
3. h为数列上极限当且仅当\(\{a_n\}\)存在一个收敛于h的子列，且其任一个收敛子列的极限≤h
【数列上、下极限的几个常用性质】
1. \(\{a_n\}\)收敛当且仅当其上下极限相等；
2. 若有界数列\(\{a_n\}\)由互不相同的数组成，则上极限为最大聚点，下极限为最小聚点；
3. 任意子列\(\{a_{n_k}\}\)有\(\varliminf a_n \le \varliminf a_{n_k} \le \varlimsup a_{n_k} \le \varlimsup a_n.\)
4. \(\varlimsup a_n = - (\varliminf (-a_n)).\)
5. \(\varlimsup x_n + \varlimsup y_n \ge \varlimsup (x_n+y_n)\ge \varlimsup x_n + \varliminf y_n.\)
\(\varliminf x_n + \varliminf y_n \le \varliminf (x_n+y_n)\ge \varlimsup x_n + \varliminf y_n.\)
6. 若 \(x_n \ge 0 ,y_n \ge 0.\)则\(\varliminf x_n \cdot \varliminf y_n \le \varliminf (x_ny_n) \le \varliminf x_n \cdot \varlimsup y_n.\)
\(\varliminf x_n \cdot \varlimsup y_n \le \varlimsup (x_ny_n) \le \varlimsup x_n \cdot \varlimsup y_n.\)
7. \(x_n>m>0\), 则\(\varlimsup \frac{1}{x_n} = \frac{1}{\varliminf x_n}.\)
8.若已知\(\{y_n\}\)收敛则\(\varlimsup (x_n+y_n)=\varlimsup x_n + \lim y_n.\)
【一组利用上、下极限的经典题目】
例1. \(b_1=1,b_{n+1}=1+\frac{1}{b_n}\)，求\(b_n\)极限。
先证明有界性，再分别取上下极限证明相等。
例2. \(y_n = x_n+2x_{n+1}\)收敛，证明\(x_n\)收敛。
同1.
例3.设序列\(x_n\)满足：\(\forall n,m \in N,0\le x_{n+m} \le x_n+x_m.\)证明\(\{\frac{x_n}{n}\}\)收敛。
发表于2021-10-16