实变函数
- 微分与不定积分 (2021-12-18)
- 重积分与累次积分的关系 (2021-11-19)
- Lebesgue积分 (2021-11-16)
- 可测函数 (2021-11-15)
- 外测度与Lebesgue测度的性质 (2021-10-10)
- n维空间中的基本点集 (2021-10-09)
以下显示部分文章预览。
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单调函数的可微性.
定理1(Lebesgue). 设\(f(x)\)是[a,b]上的递增实值函数，则
(1)\(f(x)\)的不可微点集为零测集，即\(f(x)\)几乎处处可微；(2)\[\int_a^b f'(x)dx \le f(b)-f(a).\]
定理2(Fubini逐项微分定理) 设\(f_n(x)\)是[a,b]上的递增函数列，且\(\sum_n f_n(x)\)收敛，则\[\frac{d}{dx}(\sum_n f_n(x) ) = \sum_n \frac{d}{dx} f_n(x),a.e. x\in [a,b].\]
有界变差函数
定义.
(1) 设\(f(x)\)是[a,b]上的实值函数，对于[a,b]的划分\(\Delta \), 及\[v_{\Delta} = \sum_{i=1}^n |f(x_i) - f(x_{i+1})|,\]称为\(f(x)\)在[a,b]的变差。
(2) 令\[\bigvee_a^b (f) = \sup \{v_\Delta\}.\]称为\(f(x)\)在[a,b]上的全变差。
(3) 如果\(\bigvee_a^b (f) \)有限，称\(f(x)\)是[a,b]上的有界变差函数. [a,b]上有界变差函数全体记作\(BV([a,b]).\)
Jordan分解定理. \(f(x) \in BV([a,b]) \Leftrightarrow f(x)\)可以分解为两个递增实值函数的差。
不定积分的微分
定义.对于\(f\in L(R^d)\), 定义最大值函数\[f^*(x) =\sup_{x\in B} \frac{1}{m(B)}\int_B|f(y)|dy,\]这里B取遍所有开球。
定理2. 关于最大值函数的一些性质(由定义，f可积)：
(1) \(f^*\)可测；
(2) \(f^*(x)\)几乎处处有限；
(3) 令\(A=3^d.\) \(\forall \alpha >0,\)成立\[m(\{f*(x) > \alpha\})\le \frac{A}{\alpha}\left\|F\right\|_{L^1(R^d)}.\]
定理3. 如果\(f\in L^1_{loc}(R^d).\)则\[\lim_{m(B)\to 0,x\in B}\frac{1}{m(B)}\int_B f(y) dy = f(x),\ a.e. x.\]
推论. 对于d=1的情况，若\(f\in L([a,b]),F(x)=\int_a^x f(t)dt,\)我们可以推出\[F'(x) = f(x),a.e.x\in [a,b].\]
定义. Lebesgue点
(1) 对于可测集E与任一点x，x属于E的Lebesgue点集当且仅当\[\lim_{m(B)\to 0,x\in B} \frac{m(B\cap E)}{m(B)} = 1.\]
(2) 如果\(f\in L^1_{loc}(R^d).f\)的Lebesgue点集由满足以下条件的点组成：\(f(x)\)有限且\[\lim_{m(B)\to 0,x\in B} \frac{1}{m(B)}\int_B|f(y)-f(x)|dy = 0.\]
推论.
(1) 如果E可测，则E中几乎处处都是E的Lebesgue点，E外几乎处处都不是E的Lebesgue点。
(2) 如果\(f(x)\)局部可积，则几乎处处都是f的Lebesgue点。
绝对连续函数
定义. 如果定义在[a,b]上的函数F满足：\(\forall \epsilon > 0,\exists \delta >0,\)\[\sum_{k=1}^N (b_k-a_k) < \delta \Rightarrow \sum_{k=1}^N |F(b_k)-F(a_k)|< \epsilon. \]
定理4. 如果F在[a,b]绝对连续，则\(F'(x)\)几乎处处存在。
定理5. 如果绝对连续函数F的导数几乎处处为0，则F为常数。
定理6. F在[a,b]绝对连续，则F'几乎处处存在且可积，\[F(x)-F(a) = \int_a^x f'(y)dy,\forall a\le x \le b.\]
定理7. 如果\(f(x)\)在[a,b]上可积，则存在绝对连续的函数F使得\(F'(x) = f(x),a.e.x.\)
特别地，F可以取\(F(x) = \int_a^x f(y)dy.\)
发表于2021-12-18
【Tonelli定理】
设\(f(x,y)\)是\(R^n=R^p\times R^q\)上的非负可测函数。则有如下结论：
1. 对\(a.e. x,f_x(y)=f(x,y)\)是\(R^q\)上的非负可测函数；
2. 记\(F(x)=\int_{R^q} f_x(y)dy\)是\(R^p\)上的非负可测函数；
3. \[\int_{R^p\times R^q} f(x,y)dxdy = \int_{R^p} F(x)dx=\int_{R^p}(\int_{R^q}f_x(y)dy)dx.\]
【Fubini定理】
设\(f(x,y)\in L(R^n),R^n=R^p\times R^q.\)则有如下结论：
1. 对\(a.e. x,f_x(y)=f(x,y)\)是\(R^q\)上的可积函数；
2. 记\(F(x)=\int_{R^q} f_x(y)dy\)是\(R^p\)上的可积函数；
3. \[\int_{R^p\times R^q} f(x,y)dxdy = \int_{R^p} F(x)dx=\int_{R^p}(\int_{R^q}f_x(y)dy)dx.\]
在不确定函数是否可积的情况下，可以取绝对值用Tonelli定理判定其可积性，再用Fubini定理计算其积分。
发表于2021-11-19
【非负可测函数的积分】
首先定义非负可测简单函数的积分：设\(f(x)=\sum c_i \chi_{A_k}(x),\) 定义\[\int_E f(x)dx=\sum c_i m(E\cap A_i).\]
对于一般非负可测函数，定义\[\int_E f(x)dx = \sup_{h(x)\le f(x)} \{\int_E h(x)dx\},\]这里\(h(x)\)取遍所有满足\(h(x)\le f(x)\)的非负可测简单函数。如果此上确界有限，称\(f(x)\)可积。
基本性质：
1. 若\(E_k\nearrow E, \int_{E_k} f(x)dx \to \int_E f(x)dx.\)
2. 若可积函数\(F(x)\ge f(x)\)，则\(f(x)\)也可积。
3. 有限测度集合上的有界函数可积。
4. \(f(x)\)积分为零的充要条件是几乎处处为0.
5. 非负可积函数是几乎处处有限的。
{非负渐升列积分定理}
设非负渐升可测函数列：\(f_1(x)\le f_2(x)\le\cdots, \lim_{k\to\infty} f_k(x)=f(x).\)则有\[\lim_{k\to\infty} \int_E f_k(x)dx = \int_E f(x)dx.\]
{逐项积分定理}
\(f_k(x)\)是非负可测函数列，则\[\int_E \sum_{k=1}^{\infty} f_k(x)dx=\sum_{k=1}^{\infty} \int_E f_k(x)dx.\]
{Fatou引理}
\(f_k(x)\)是非负可测函数列，则\[\int_E \varliminf_{k\to\infty} f_k(x)dx \le \varliminf_{k\to\infty} \int_E f_k(x)dx.\]
【一般可测函数的积分】
定义：设\(f(x)\)在E上可测。若积分\(\int_E f^+(x)dx,\int_E f^-(x)dx\)有一个有限，则\(\int_E f(x)dx\)有意义；若两个都有限，则\(f(x)\)可积。
可积函数基本性质：
1. 可积函数几乎处处有限。
2. 控制函数\(g(x)\ge |f(x)|\)若可积，则\(f(x)\)可积。
3. \(\forall \epsilon >0,\exists N,\)\[\int_{|x|>N} |f(x)|dx<\epsilon.\]
4. 可积函数的积分定义域可数可加。
5. 积分的绝对连续性：\(\forall \epsilon >0, \exists \delta >0, \forall m(e)<\delta, e\subset E,\)\[|\int_ef(x)dx|\le \int_e |f(x)|dx <\epsilon.\]
{控制收敛原理}
设\(f_k\)可积，且\(\lim_{k\to\infty} f_k(x)=f(x),a.e.x\in E.\)若存在可积函数\(F(x)\ge|f_k(x)|,a.e.x \in E,\)则\[\lim_{k\to\infty}\int_E f_k(x)dx = \int_E f(x)dx.\]推论：当E测度有限时，若\(f_k(x)\)一致有界，则上述等式成立。
{依测度收敛型的控制收敛原理}
设\(f_k \in L(R^n)\)且依测度收敛于\(f(x)\).若存在可积函数\(F(x)\ge|f_k(x)|\) 则\(f(x)\in L(R^n)\)且\[\lim_{k\to\infty}\int_{R^n} f_k(x)dx = \int_{R^n} f(x)dx.\]
{逐项积分定理}
设\(f_x\in L(E),\sum_{k=1}^{\infty} \int_E f_k(x)dx <+\infty.\)则有\[ \int_E \sum_{k=1}^{\infty} f_k(x)dx = \sum_{k=1}^{\infty} \int_E f_k(x)dx \]
【可积函数与连续函数的关系】
定理：若\(f(x)\in L(E).\forall \epsilon > 0, \exists g(x)\)连续且具有紧支集，使得\[\int_E|f(x)-g(x)|dx<\epsilon.\]推论1. \(f\in L(E)\). 存在具有\(R^n\)上紧支集的连续函数列\(g_k(x)\)使得：
(i) \(\lim_{k\to\infty} \int_E |g_k(x)-f(x)|dx =0;\)
(ii) \(g_k(x) \to f(x), a.e. x \in E.\)
推论2. \(f\in L(E).\forall \epsilon>0,\)可以分解\(f(x)=f_1(x)+f_2(x),\)其中\(f_1(x)\)是具有紧支集的连续函数，\(|f_2(x)|\)的积分小于\(\epsilon.\)
推论3. \(f\in L(E)\). 存在具有\(R^n\)上紧支集的阶梯函数列\(g_k(x)\)使得：
(i) \(\lim_{k\to\infty} \int_E |g_k(x)-f(x)|dx =0;\)
(ii) \(g_k(x) \to f(x), a.e. x \in E.\)
平均连续性. \(f\in L(R^n).\)则有\[\lim_{h\to 0} \int_{R^n} |f(x+h)-f(x)|dx = 0.\]
发表于2021-11-16
可测函数的定义：
定义在可测集上的广义实值函数\(f(x)\), 满足\(\forall t \in R,\{x|f(x)>t\}\)是可测集，则称为可测函数。
如果已知某个函数是可测函数，则隐含了其定义域是可测集的条件。一个集合可测当且仅当其特征函数可测。
可测函数的基本性质：
1. 可测函数在数乘，加法，乘法运算下封闭。
2. 如果已知一列\(\{f_k\}\)可测，则以下函数可测：
(i) \(\sup\{f_k(x)\},\inf\{f_k(x)\}\)
(ii) \(\varlimsup_{k\to\infty}f_k(x),\varliminf_{k\to\infty}f_k(x)\)
(iii) 若已知 \(\lim_{k\to\infty}f_k(x)=f(x)\),则\(f(x)\)可测。
3. 单调函数可测，连续函数可测。
【局部有界化定理】\(f(x)\)是定义在有限测度集A上的可测函数，且几乎处处不为0、几乎处处有限。则 \(\forall \delta \in (0,m(A)),\exists B\subset A,k\in N,\)\[m(A-B)<\delta,\frac{1}{k}\le f(x) \le k,x\in B.\]
【简单函数】
\(f(x)=\sum_{i=1}^p c_i \chi_{E_i}(x)\)称为简单函数。若每个\(E_i\)可测，称为可测简单函数；若每个\(E_i\)是矩体，称为阶梯函数。
【简单函数逼近定理】
(i)若\(f(x)\)是非负可测函数，则存在非负可测的简单函数渐升列：\(\varphi_k(x)\le\varphi_{k+1}(x),\forall k\),使得\(\lim \varphi_k(x)=f(x)\).
(ii) 在(i)中删去非负的条件，则存在可测简单函数列\(|\varphi_k(x)|\le|f(x)|\),且有\(\lim \varphi_k(x)=f(x)\).
(iii)若在(ii)中加入\(f(x)\)有界的条件，则上述收敛一致。
(iv)以上可测简单函数列均可取成具有紧支集的。
【a.e.收敛与一致收敛】
引理：设\(f(x),f_k(x)\)在E上几乎处处有限且可测，E测度有限，\(f_k(x)\to f(x),a.e. x\in E.\) 则对任意正数\(\epsilon\),令\(E_k(\epsilon)=\{x:|f_k(x)-f(x)|\ge \epsilon\}\). 则\[\lim_{j\to\infty} m(\bigcup_{k=j}^{\infty}E_k(\epsilon))=0.\]
近一致收敛定理：设\(f(x),f_k(x)\)在E上几乎处处有限且可测，E测度有限，\(f_k(x)\to f(x),a.e. x\in E.\)则任意给定正数\(\delta\)，存在E的可测子集\(E_\delta, m(E_\delta)\le \delta,\) 使得\(f_k(x)\)在\(E-E_\delta\)上的收敛是一致的。
【a.e.收敛与依测度收敛】
依测度收敛的定义：\(f(x),f_k(x)\)是在E上几乎处处有限的可测函数。若对任意正数\(\epsilon\)，有\[\lim_{k\to\infty} m(\{x:|f_k(x)-f(x)|>\epsilon\})=0,\] 称\(f_k(x)\)依测度收敛于\(f(x)\).
依测度收敛的性质
1. 在函数对等（几乎处处相等）意义下，依测度收敛的函数列极限唯一。
2. 几乎处处有限的函数列，若a.e.收敛于几乎处处有限的\(f(x)\)，则也依测度收敛于\(f(x)\). 但反之不然
3. 设\(f(x),f_k(x)\)是E上几乎处处有限的可测函数。若\(\forall \delta >0,\exists E_\delta \subset E,s.t. m(E_\delta)<\delta,f_(x)\)在\(E-E_\delta\)上一致收敛于\(f(x)\), 则在E上依测度收敛于\(f(x)\). 如果还已知E测度有限，则\(f_k(x)\to f(x), a.e. x\in E.\)
4. (完备性定理) E上的依测度Cauchy列\(\{f_k(x)\}\)一定依测度收敛于某个E上的几乎处处有限的可测函数\(f(x)\).
5. (Riesz定理) 若\(\{f_k(x)\}\)在E上依测度收敛于\(f(x)\), 则存在子列\(f_{k_i}(x)\) a.e.收敛于\(f(x)\).
【可测函数与连续函数】
局部连续化定理：设\(f(x)\)是E上几乎处处有限的可测函数，则对\(\forall \delta >0,\)存在E中的闭集F，使得\(m(E-F)<\delta,f(x)\)在F上连续。
推论1. \(f(x)\)a.e.有限、可测，则任意正数\(\delta\)，存在\(R^n\)上的连续函数\(g(x)\)使得 \(m(\{x:f(x)\ne g(x)\})<\delta.\)
推论2. 条件同1. 存在\(R^n\)上的连续函数列\(g_k(x)\)， a.e.收敛于\(f(x)\).
【复合函数的可测性】
引理：实值函数\(f(x)\)在\(R^n\)上可测的充要条件是：对任一开集G，\(f^{-1}(G)\)可测。
定理：设\(f(x)\)连续，\(g(x)\)实值可测。则\(f(g(x))\)是\(R\)上的可测函数。但\(g(f(x))\)未必。
发表于2021-11-15
【外测度】
定义：\(m^*(E) = \inf \{\sum_{k=1}^{\infty}|I_k| : E \subset \bigcup_{k \in Z} I_k \}\)，其中\(I_k\)为开矩体。
性质：
1. 非负性
2. 单调性
3. 次可数可加性
4. 若\(d(E_1,E_2)>0\),则\(m^*(E_1 \cup E_2) = m^*(E_1)+m^*(E_2).\)
将覆盖两个小集合的开矩体进行细分再略扩张，使得覆盖后两组开矩体不相交。
5. \(m^*(E) = \inf \{m^*(O):O\ is\ open\ \land E \subset O\}.\)
6. Carathedory引理：\(G \ne R^n\)开集，\(E\subset G,E_k=\{x\in E|d(x,G^c)\ge \frac{1}{k}\}\),则\(\lim m^*(E_k)=m^*(E).\)
引理表明，对任意开集内的子集E，可以通过其内的闭集与E的交去逼近E的外测。
7. 外测度的正则性 存在包含E的\(H \in G_{\delta},m(H)=m^*(E).\)
【Lebesgue可测与测度】
定义：对于集合E，若\(\forall \epsilon >0,\ \exists\) 开集O 满足\[ E \subset O \land m^*(O-E)\le \epsilon,\]则称 E (Lebesgue)可测，并记\(m(E)=m^*(E).\)
定义2：对任意集合T，有\(m^*(T) = m^*(T\cap E) + m^*(T \cap E^c)\).
性质：
1. 开集可测
2. 零外测集可测
3. 可数个可测集之并可测
4. 闭集可测
需要利用引理：F闭，K紧且不交，则\(d(F,K)>0\). 用开集O覆盖F并估计O-F，仍是开集，将其写为可数个几乎不交的矩体之并。
5. 可测集的补集可测
用开集列逼近可测集，再取补集。注意利用性质2,3.
6. 可数个可测集的交可测, Borel集可测
由摩根律显然。
7. 可数可加性（不交的可测集之并的测度等于这些集合的测度之和）
先证明有限的情况，从内部选取闭集（紧集）逼近
8. \(E_k \nearrow E,\) 则\(m(E) = \lim_{k \to \infty}m(E_k)\);
\(E_k \searrow E \land m(E_1)\)有限 , 则\(m(E) = \lim_{k \to \infty}m(E_k)\).
9. E可测，则\(\forall \epsilon>0, \exists O\)开集，\(F\)闭集，满足\(F \subset E \subset O\), 且\(m(O-E)≤\epsilon, m(E-F)≤\epsilon\);
若\(m(E)\)有限，则存在紧集K，满足\(K \subset E \land m(E-K)≤\epsilon\).
10. \( m(E)\)有限，则\(\forall \epsilon >0\),存在有限个闭立方体\(F = \bigcap_{n=1}^k Q_j\), 使得\(m(E \triangle F)≤\epsilon\).
11. E可测当且仅当E与一个\(G_{\delta}\)集相差一个零测集，当且仅当E与一个\(F_{\sigma}\)集相差一个零测集
用\(m(O_n - E)≤\frac 1 n \)去逼近E.
12. \(E_k\)可测。则\(m(\underline{\lim}_{k \to \infty}E_k)≤\underline{\lim}_{k \to \infty} m(E_k)\).
13. 正测集E，\(\lambda \in (0,1)\)，则存在开矩体I，使得\(\lambda|I|\le m(I \cap E).\)
14. Steinhaus定理 正测集E，\(\exists \delta >0,E-E\supset B(0,\delta).\)
发表于2021-10-10
【\(F_{\sigma},G_{\delta}\)集】
对于开集和闭集，我们熟知以下结论：
(1) 可数个开集的并是开集，有限个开集的交是开集；
(2) 可数个闭集的交是闭集，有限个闭集的并是闭集。
但是，可数个开集的交（或可数个闭集的并）未必仍是开集（或闭集）。因此我们引入如下定义：
称可数个开集的交为\(G_{\delta}\)（型）集；
称可数个闭集的并为\(F_{\sigma}\)（型）集。
【\(\sigma-\)代数与Borel集】
若集合X的一族子集\(\Gamma\)满足：
(i) \(\emptyset \in \Gamma\);
(ii) \(A \in \Gamma \Rightarrow A^c \in \Gamma\);
(iii) \(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in \Gamma\).
则称\(\Gamma\)是一个\(\sigma-\)代数.
由定义立得\(\Gamma\)的性质：可数交、上极限集、下极限集、差集运算封闭。
包含某子集族的最小\(\sigma-\)代数称为由其生成的\(\sigma-\)代数。
由\(R^n\)中一切开集生成的\(\sigma-\)代数称为Borel \(\sigma-\)代数，其中的集合称为Borel集。显然，开集、闭集、\(F_{\sigma}、G_{\delta}\)集都是Borel集。
下面介绍一个有意思的定理（Baire定理）：设\(E = \bigcup_{n \in I}F_n\)为\(F_{\sigma}\)集，若每个F无内点，则E无内点。利用反证法即可说明。
例：利用Baire定理证明有理数集Q不是\(G_{\delta} \)集。
【Cantor集】
Cantor集的构造：首先将[0,1]三等分，移去中间的开区间，得到\(F_1 = [0,\frac{1}{3}]\cup [\frac{2}{3},1]\);
再将\(F_1\)的每一个区间三等分，各移去中间的开集，得到\(F_2\);依次类推，得到\(F_2,F_3,...\)
令\(C = \bigcap_{n=1}^{\infty}F_n\)，称为Cantor集。
Cantor集C的基本性质：
1. C是闭集;
2. C是完全集(C=C');
3. C无内点;
4. \(\overline{\overline{C}} = \aleph_1\);
5. C中元素x的三进制表示\(2\sum_{i=1}^{\infty} \frac{a_i}{3^i} ,a_i \in \{0,1\}\).
6. Cantor函数\(\varphi(x) = \sum_{i=1}^{\infty}\frac{a_i}{2^i}\)是递增函数,且\(\varphi(C)=[0,1]\).
7.C可测且测度为0.
发表于2021-10-09