隐函数定理与逆映射存在定理

·单个方程的情形
记\(x = (x_1,\cdots,x_n)\in R^n, y \in R.\)如果\(F(x,y)\)在\((x_0,y_0)\)的局部内有意义, 并且满足条件:
(1)\(F(x_0,y_0)=0\);
(2)\(F(x,y),F'_y(x,y)\)在\((x_0,y)\)的局部内连续;
(3)\(F'_y(x_0,y_0)\ne 0.\)
则存在\(x_0\)的某个邻域,及邻域内的唯一的连续函数\(y=f(x)\),满足:
(a)\(y_0 = f(x_0)\);
(b)\(F(x,f(x))=0\);
(c)如果还已知F对x的各分量偏导数存在且连续,则\(y=f(x)\)也具有各个连续偏导数,且\[\frac{\partial f(x)}{\partial x_i} = - \frac {F'_i(x,y)}{F'_y(x,y)}.\]

·方程组的情形
设向量函数\[F(x,u)= (F_1(x,u),\cdots, F_m(x,u)),\]在\((x_0,u_0)\)的某邻域内有意义,这里\(x_0\in R^n,u_0\in R^m.\)注意:u的维数与F的维数相同。
如果满足以下条件:
(1)\(F(x_0,u_0) = \vec 0\),即各分量的函数值都为0;
(2) \(f_j(x,u)\)的各个偏导数都在该邻域内存在且连续;
(3) \[\frac{\partial (F_1,F_2,\cdots,F_m)}{\partial(u_1,u_2,\cdots,u_m)}|_{(x_0,u_0)}\ne 0.\]
则存在\(x_0\)的某个邻域,及该邻域内唯一的m维n元向量函数\(f(x) = (f_1(x),\cdots,f_m(x))\),满足:
(a)\(u_0 = f(x_0)\);
(b)\(F(x,f(x))=\vec 0\);
(c)\(f(x)\)的每个分量函数\(f_j(x)\)在该邻域内存在连续偏导数,记\[A=(\frac{\partial F_i(x,u)}{\partial x_j})\in M_{m\times n},\]\[B=(\frac{\partial F_i(x,u)}{\partial u_j})\in M_{m\times m},\]则\[f'(x)= - B^{-1}\cdot A.\]
·逆映射存在定理
设\(y=(y_1,\cdots,y_n)=(f_1(x),\cdots , f_n(x))=f(x):D\to \Omega\)是两个\(R^n\)区域之间的\(C^1\)映射。如果在某点\(x_0\)处的Jacobi行列式非零,则存在\(x_0\)的一个邻域使得y是该邻域内的局部同胚。

    所属分类:数学分析     发表于2022-01-23