随机变量的数学期望与方差

以下设X是随机变量。当X为离散型时，设X的可能取值为\(\{x_k\}\)，并设\(P(X=x_k)=p_k\)；当X为连续型时，设X的分布密度为\(p(x).\)

·数学期望
离散型：\[E(X) = \sum_k x_kp_k.\]这里约定级数绝对收敛。
连续型：\[E(X) = \int_R xp(x)dx.\]这里也要求积分绝对收敛。对于一般的随机变量，可以类似于积分的Riemann和取极限来定义。

Markov不等式：设\(X\ge0\)恒成立，且期望存在。则\[\forall C > 0, P(X\ge C)\le \frac 1 C E(X).\]
随机变量函数的数学期望(均值公式)：
离散型\[E(f(X)) = \sum_k f(x_k)p_k.\]
连续型\[E(f(X)) = \int_R f(x)p(x) dx.\]

·方差
当\(E(X),E[(X-E(X))^2]\)都存在时，\(E[(X-E(X))^2]\)称为X的方差，记为\(var(X),D(X).\)若\(var(X)\)存在，称\(\sqrt{var(X)}\)为X的标准差。
离散型：\[var(X)= \sum_k x_k^2p_k - (E(X))^2.\]
连续型：\[var(X)= \int_R x^2p(x) dx - (E(X))^2.\]以上两式均可由均值公式得到。

Chebyshev不等式：\[\forall \epsilon > 0, P(|X-E(X)|\ge \epsilon)\le \frac{1}{\epsilon^2}var(X).\]

    所属分类：概率与统计     发表于2022-01-23