随机向量

·定义 n个随机变量\(X_1,\cdots,X_n\)的整体\(\zeta = (X_1,\cdots,X_n)\)成为n维随机向量。
设\(f(x_1,\cdots,x_n)\)为n元实值函数，则随机变量\(Y = f(X_1,\cdots,X_n)\)成为随机变量\(\zeta\)的函数。

类似一维随机变量，随机向量有联合分布密度和联合分布函数的概念。以下以二维随机向量为例。

(1)离散型：\(\zeta=(X,Y)\). 若X,Y的取值范围分别是\(\{x_i\},\{y_i\}\), 令\(p_{ij} = P(X=x_i,Y=y_j)\).这里我们允许某些\(p_{ij}=0.\)
注意到\(\sum_j p_{ij} = p_i =P(X=x_i).\) 我们定义\(\zeta\)中X的概率分布为\(\zeta\)关于X的"边缘分布"。 注意，随机向量的联合分布并不能由各分量边缘分布唯一确定。

(2)连续型：如果存在非负函数\(p(x,y):R^2 \to R\)使得对任何矩形\(D=(a,b)\times(c,d)\)满足\[P((X,Y)\in D)=\iint_D p(x,y)dxdy,\]称\(\zeta\)是连续型的。
如果满足连续型的条件，则上式中的D换成任意Borel集A后均成立。

例：二维正态分布\[p(x,y) = \frac{1}{2\pi \sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}\cdot \exp\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}[\]\[(\frac{x-\mu_1}{\sigma_1})^2 - \frac{2\rho(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2} + (\frac{y-\mu_2}{\sigma_2})^2]\}\]
定理. \(p_X(x)=\int_R p(x,y)dy, p_Y(y)=\int_R p(x,y)dx\)分别是X，Y的分布密度。

·分布函数
\(F(x,y) = P(X\le x,Y\le y)\)称为\(\zeta\)的分布函数，也称为\((X,Y)\)的联合分布函数。
性质：(1)右连续性；
(2)\[\lim_{x\to +\infty}F(x,y) = P(Y\le y).\]
(3)如果F有二阶连续偏导数，则\[p(x,y) = \frac{\partial^2}{\partial x \partial y}F(x,y).\]

·随机变量的独立性
定义：若X，Y是随机变量。如果对任意的\(a< b , c< d\)，事件\(\{X\in(a,b)\},\{Y\in (c,d)\}\)都相互独立，则称X，Y相互独立。
定理.
(1)离散型：X，Y独立当且仅当\(p_{ij} = p_i p_j.\)
(2)连续型：X，Y独立当且仅当\(p(x,y) = p_X(x)p_Y(y).\) 这又等价于\(p(x,y)\)可表示成\(p(x,y)=f(x)g(y)\)的形式。

·数学期望
定理. 设X，Y相互独立，且期望存在。则\(E(XY) = E(X)E(Y).\)
定理. 设X，Y相互独立，且期望和方差存在。则\(var(X+Y) = var(X)+var(Y).\)

均值公式.
(1)离散型：\(Ran(X,Y)=\{a_i\}.\)\[E f(X,Y) = \sum_i f(a_i)\cdot P((X,Y)=a_i).\]
(2)连续型：要求积分绝对收敛。\[Ef(X,Y) = \iint_{R^2} f(x,y)p(x,y)dxdy.\]

·随机向量的数字特征
定义：(1)设X，Y是随机变量，存在期望和方差。称\[cov(X,Y)=E((X-E(X))(Y-E(Y)))\]为X，Y的协方差，也记作\(\sigma_{XY}\).
(2)设X，Y的方差都是正数。则称\[\rho = \frac{cov(X,Y)}{\sqrt{var(X)\cdot var(Y)}}\]为X，Y的相关系数，也记作\(\rho_{XY}\).
协方差和相关系数描述变量X，Y的相关程度。当\(cov(X,Y)=0\)时，X与Y独立。注意\(|\rho|\le 1\),且\(|\rho|=1\)的充要条件是存在常数a,b使得\(P(Y=aX+b)=1.\)

对于n维向量，我们有如下定义：
设\(\zeta = (X_1,\cdots,X_n)\)是n维随机向量，每个向量都有期望\(E(X_i),var(X_i)\).
(1) 称\(E(\zeta)=(E(X_i))\)为\(\zeta\)的数学期望（或均值）。
(2) 令\[\sigma_{ij}=cov(X_i,X_j),\rho_{ij} = \frac{\sigma_{ij}}{\sqrt{\sigma_{ii}\sigma_{jj}}}.\]称矩阵\[\Sigma = (\sigma_{ij})_{n\times n},R=(\rho_{ij})_{n\times n}\]分别为\(\zeta\)的协方差阵和相关阵。注意\(\sigma_{ii}=var(X_i).\)

    所属分类：概率与统计     发表于2022-01-26