曲线积分与曲面积分

这里我们只给出曲线积分和曲面积分的常用计算方法,略去严格定义和一般情况的计算。

第一型曲线积分
设光滑曲线\[\Gamma:\begin{cases} x=x(t),\\ y=y(t),(a\le t\le b) \\ z=z(t) \end{cases}\]再设\(f(x,y,z)\)在\(\Gamma\)上连续。
则\[\int_\Gamma f(x,y,z)ds = \int_a^b f(t)\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2 + z'(t)^2}dt.\]

第二型曲线积分
设光滑曲线\(\Gamma:\overset{\frown}{AB}\),有同上的参数方程。又设\(P,Q,R\)为关于\((x,y,z)\)的函数在其上连续。
则\[\int_{\widehat{AB}}Pdx+Qdy+Rdz = \int_a^b[Px'(t)+Qy'(t)+Rz'(t)]dt.\]
若令\(\vec n = (\cos \alpha,\cos\beta,\cos\gamma)\)为某点处的单位切向量,则第一型与第二型曲线积分具有如下关系:\[\int_{\widehat{AB}}(P,Q,R)\cdot(dx,dy,dz) = \int_{\widehat{AB}}(P,Q,R)\cdot (\vec n )ds.\]

第一型曲面积分
设光滑曲面\[S:\begin{cases} x=x(u,v),\\ y=y(u,v) ,\\ z=z(u,v).\end{cases}\]\((u,v)\in D\)为光滑闭曲面。又设\(f(x,y,z)\)在S上连续。
令\(r(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v))\), 得\(r'_u = (x'_u,y'_u,z'_u),r'_v=(x'_v,y'_v,z'_v).\) 法向量\(\vec n = r'_u \times r'_v.\)
设\(E=r'_u\cdot r'_u, F= r'_u\cdot r'_v, G = r'_v\cdot r'_v.\)则\(EG - F^2 = |\vec n |^2.\)
则\[\iint_S f(x,y,z)dS = \iint_D f(u,v)\sqrt{EG-F^2}dudv.\]

第二型曲面积分
设光滑曲面S有同上的参数方程。选定S的一侧,设任一点处的法向量为\(\vec n = r'_u\times r'_v = (A,B,C).\)
又设向量函数\(f(x,y,z) = (P,Q,R)\)在S上连续。
则\[\iint_S Pdydz +Qdzdx + Rdxdy = \iint_S (P,Q,R)\cdot (A,B,C) dudv.\]

各类积分之间的联系
(1) 格林公式
设\(D\subset R^2\)是有界闭区域,边界由有限条分段光滑的Jordan曲线组成,\(P(x,y),Q(x,y)\)在D上具有连续偏导数。
则有\[\int_{\partial D} Pdx + Qdy = \iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})dxdy.\]
(2) 高斯公式
设\(D\subset R^3\)是有界闭区域,\(\partial D\)是D的外侧,\(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\)在D上具有连续偏导数。
则有\[\iint_{\partial D} Pdydz + Qdzdx + R dxdy = \iiint_D ((\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z})dxdydz.\]
(3) 斯托克斯公式
设\(S\subset R^3\)是光滑双侧曲面,边界由有限条分段光滑曲线组成。给定S的一侧并取\(\partial S\)关于该侧为正向,再设\(P,Q,R\)在包含S的某个区域内具有连续偏导数。
则\[\int_{\partial S} Pdx+Qdy+Rdz= \iint_S (\sum_{cyc}(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z})dydz).\]
(4) 微分形式的斯托克斯公式
\[\int_D d\omega = \int_{\partial D} \omega.\]

    所属分类:数学分析     发表于2022-01-28