Dedekind分割与实数系连续性

Dedekind分割定理解决了实数系的连续性问题，证明了实轴上所有数都在\(R\)中，而没有新数产生。

首先给出数集分划的定义：
设S为有序非空数集，\(A,B\subset S.\)满足：
i. \(A,B \ne \varnothing\);
ii. \(A\cup B = S;\)
iii.\(\forall a \in A, \forall b \in B,a<b\);
iv.\(A\)中无最大数.
则称\(A|B\)为S的一个分化.

对于有理数集Q的一个分划，若B中存在最小数，则称为有理分划；否则为无理分划。于是，Q与R中的有理分划是一一对应的（有理数q与B中最小数对应）。而对于无理分划，与\(R-Q\)中的元素一一对应，由此构造出了无理数。

Dedekind分割定理：
对\(R\)的任一分划\(A|B\)，B中必有最小数。

这就意味着，对实数集R再分划，就不能再产生新数了，即R已经填满了整个数轴。而有理数集Q则不行：任取有理数\(a<b\)，总能找到二者之间的某个数不为有理数。于是Dedekind分割定理即从这一角度说明了实数系连续性。

    所属分类：数学分析     发表于2021-09-19