向量的内积与外积

·向量的投影
非零向量\(\vec{e}\)，则任意向量\(\vec{x} = p_e(\vec{x})+\overline{p_e}\vec{x}\)，分别称为\( \vec{x}\)对\(\vec{e}\)的内投影和外投影。均具有双线性性。

·向量的内积
定义向量\(\vec{x},\vec{y}\)的内积为\[\vec{x} \cdot \vec{y} = |\vec{x}||\vec{y}|cos\left \langle \vec{x} , \vec{y}\right \rangle. \] 其中\( \left \langle \vec{x} , \vec{y}\right \rangle\)表示两向量夹角。若其中有零向量，则补充定义内积为0.

内积性质（欧式空间内积的三个条件）：
1. 对称性
2. 正定性
3. 双线性性

·向量的外积
定义：两个向量\( \alpha , \beta\)的外积是一个向量，记作\( \alpha \times \beta \)，长度为\( |\alpha \times \beta| = |\alpha| \cdot |\beta| \sin \langle \alpha , \beta \rangle\)，方向上\(\alpha, \beta\)不平行时\(\alpha, \beta,\alpha \times \beta\)构成右手系。

外积性质：
1. 双线性性
2. 反对称性：\(\alpha \times \beta = - \beta \times \alpha .\)
3. \( \alpha \times\beta = 0 \Leftrightarrow \alpha \parallel \beta. \)

坐标法计算外积
设\(\vec{a} = (a_1,a_2,a_3), \vec{b} = (b_1,b_2,b_3)\)，则 \[\vec{a} \times \vec{b} = ( \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} , a_3 & a_1 \\ b_3 & b_1 \end{vmatrix} , \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} ) \]

    所属分类：几何学     发表于2021-09-22