自然常数e的若干性质总结

·自然常数的定义： \[e = \lim_{n \to \infty} (1+ \frac{1}{n})^{n}. \]

命题1.令\(x_n = (1+ \frac{1}{n})^{n} , y_n = (1+\frac{1}{n})^{n+1},\)则 \(x_n< x_{n+1}< e< y_{n+1}< y_n,\)且\(\lim_{n \to \infty}y_n = e.\)
用均值不等式易证两数列的单调性。极限由定义立得。

推论2. \[ \frac{1}{1+n} < \ln (1+\frac{1}{n}) < \frac{1}{n}.\] 这个命题对正数x亦成立。在命题1中直接取对数即可。

命题3.\[ (\frac{n+1}{e})^n < n!<(\frac{n+1}{e})^n (n+1). \] 在命题1中，将e关于1,...,n的不等式依次相乘。

推论4.\[ \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}} =e.\] 在命题3中开n次根号。

命题5.\[ e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}.\] 将\(x_n \)按二项式展开，放缩并取极限。

命题6. 令\(a_n = e-\sum_{k=0}^n \frac{1}{n!} \)则 \[\lim_{n \to \infty} a_n(n+1)!=1. \] 利用stolz定理即得。

推论7. \[ \frac{1}{(n+1)!} < a_n < \frac{1}{n!n}.\] 利用命题6放缩即可，右端不等号可裂项证明。

定理8. \(e\)是无理数.
反证法，结合推论7.

命题9:\[ (1 + \frac{1}{n} )^{n} ≥ \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} - \frac{e}{2n} .\] 将左端项展开后应用伯努利不等式。

    所属分类：数学分析     发表于2021-09-24