环、整环、体、域的定义与举例

环、整环、域、体均是由一个集合\(S\)及定义在其上的两个代数运算（称为加法和乘法）组成的代数系统，并且运算满足对应的条件。

·环
定义：设非空集合R上定义了加法和乘法，并满足
1. \(R_{+} \)是Abel群；
2. \(R_{\times} \)是半群；
3. \(\forall a,b,c \in R, a(b+c)=ab+ac,(a+b)c = ac+ab.\)（乘法双侧分配律）
则称代数系统\( (R,+,\times)\)是一个环，简记为\(R\).

·整环
无零因子的交换幺环，且\(1 \ne 0\),称为整环。
换言之，如果除了上面所说的3个条件，环R还满足以下性质，则称为整环：
4. \(\exists e=1 \in R, s.t. \forall a \in R, ae=ea=a.\)（幺环，含有单位元）
4*. \(1 \ne 0\)（R中至少有2个元素）
5. \(ab=0 \Rightarrow a=0 \lor b=0 \)（消去律成立，或无零因子）
6. \(\forall a,b \in R, ab=ba\)（乘法可交换，交换环）

·体
非零元之乘法形成群的幺环，且\(1 \ne 0\)，称为体。
等价定义：满足条件1，2，3，4，4*，（5）及
7. \( R_{\times}^{*} \)形成群（非零元都可逆）。
事实上，条件5可由条件7推出，因为可逆元一定不是零因子。
体比整环少了乘法半群可交换的条件，但将其加强为群。

·域
环F是交换幺环，且全体非零元对乘法形成群，至少含有两个元素，称为域。
域相当于满足以上全部（1-7）条件，其中第5条可由7覆盖。

一些例子
n级矩阵环\(M_n(P) (n>1)\)：不是整环、体（不可交换，不可逆）
整数环\(Z\)：整环，不是体（不可逆）
四元数体\(H\)：体，不是整环（不可交换）

    所属分类：抽象代数     发表于2021-09-26