向量的二重外积与混合积

【二重外积】
若无特殊说明，本文中的\(a,b,c,d\)均代表向量，坐标指任一仿射坐标系中的坐标。对于要求（右手）直角坐标系的情况，会特别标注。

二重外积：
\((a \times b) \times c = (a\cdot c )b - (b \cdot c)a,\)
\(a \times (b \times c) = (a\cdot c)b - (a \cdot b)c.\)
以\(a,a \times b\)为\(e_1,e_3\)建立直角坐标系证明。

【混合积】
\((a,b,c)=(a\times b)\cdot c\).
性质：
1. \((a,b,c) = 0 \Leftrightarrow a,b,c\)共面
2.\((a,b,c)>0 \Leftarrow a,b,c\)构成右手系
3. \((a,b,c) = (b,c,a)=(c,a,b)\)
4. \((a,b,c)=-(b,a,c)\)
5. \[(a,b,c)=\begin{vmatrix}a_1 &a_2& a_3\\b_1& b_2& b_3 \\c_1& c_2 &c_3 \end{vmatrix}(e_1,e_2,e_3).\]特别地，在右手直角坐标系中，基向量的混合积为1，可直接用行列式计算混合积。

    所属分类：几何学     发表于2021-10-04