n维空间中的基本点集

【\(F_{\sigma},G_{\delta}\)集】
对于开集和闭集，我们熟知以下结论：
(1) 可数个开集的并是开集，有限个开集的交是开集；
(2) 可数个闭集的交是闭集，有限个闭集的并是闭集。
但是，可数个开集的交（或可数个闭集的并）未必仍是开集（或闭集）。因此我们引入如下定义：
称可数个开集的交为\(G_{\delta}\)（型）集；
称可数个闭集的并为\(F_{\sigma}\)（型）集。

【\(\sigma-\)代数与Borel集】
若集合X的一族子集\(\Gamma\)满足：
(i) \(\emptyset \in \Gamma\);
(ii) \(A \in \Gamma \Rightarrow A^c \in \Gamma\);
(iii) \(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in \Gamma\).
则称\(\Gamma\)是一个\(\sigma-\)代数.
由定义立得\(\Gamma\)的性质：可数交、上极限集、下极限集、差集运算封闭。

包含某子集族的最小\(\sigma-\)代数称为由其生成的\(\sigma-\)代数。

由\(R^n\)中一切开集生成的\(\sigma-\)代数称为Borel \(\sigma-\)代数，其中的集合称为Borel集。显然，开集、闭集、\(F_{\sigma}、G_{\delta}\)集都是Borel集。

下面介绍一个有意思的定理（Baire定理）：设\(E = \bigcup_{n \in I}F_n\)为\(F_{\sigma}\)集，若每个F无内点，则E无内点。利用反证法即可说明。
例：利用Baire定理证明有理数集Q不是\(G_{\delta} \)集。

【Cantor集】
Cantor集的构造：首先将[0,1]三等分，移去中间的开区间，得到\(F_1 = [0,\frac{1}{3}]\cup [\frac{2}{3},1]\);
再将\(F_1\)的每一个区间三等分，各移去中间的开集，得到\(F_2\);依次类推，得到\(F_2,F_3,...\)
令\(C = \bigcap_{n=1}^{\infty}F_n\)，称为Cantor集。

Cantor集C的基本性质：
1. C是闭集;
2. C是完全集(C=C');
3. C无内点;
4. \(\overline{\overline{C}} = \aleph_1\);
5. C中元素x的三进制表示\(2\sum_{i=1}^{\infty} \frac{a_i}{3^i} ,a_i \in \{0,1\}\).
6. Cantor函数\(\varphi(x) = \sum_{i=1}^{\infty}\frac{a_i}{2^i}\)是递增函数,且\(\varphi(C)=[0,1]\).
7.C可测且测度为0.

    所属分类：实变函数     发表于2021-10-09