群在一集合上的作用

定义1. 给定群G与集合X非空，如果给出一个映射\(f:G\times X \to X\)满足：
1. \(f(e,x)=x\)
2. \(f(g_1g_2,x)=f(g_1,(f(g_2,x))\)
就称f决定了群G在集合X上的作用。可将\(f(g,x)\)简写为\(g(x)\),则有\(e(x)=x,g_1(g_2(x))=g_1g_2(x),g^{-1}(g(x))=x.\)

用变换的观点来看，我们有如下的等价定义：
定义1*. 给定一个同态\(\psi:G \to S(X),g(x)=\psi(g)(x)=\sigma_g(x)\)决定了群G在集合X上的作用。
如果\(\psi:g\leftrightarrow \sigma_g\)是单射，称群在集合X上的作用是如实的。

例1：群G有子群\(H\le G,G=\bigcup_{g\in G_0}gH\). 定义\(g(xH)=gxH\),决定了群G在全体左陪集所成集合上的作用。后者称为群G的一个齐性空间。

定义2. 如果群G在X，X'上作用，并且存在一一对应\(\varphi:X\to X'\)使得\(\varphi(g(x))=g(\varphi(x))\)称两作用是等价的。

定义3. 群G作用在X上，定义等价关系～：\(x\sim y \Leftrightarrow \exists g , y=g(x).\)按照这个等价关系，X中的元素可分为若干等价类。这样分成的等价类称为轨道。包含x的轨道即为\(O_x=\{g(x)|g \in G\}.\)

一些特别定义：
1. 若\(\forall g \in G,g(x)=x\),称x为不动元素；
2. 若\(\exists x \in X,O_x=G,\)称G在X上的作用是传递的；
3. 对\(x \in X\)，集合\(\{g\in G | g(x)=x\}\)是一个子群，称为元素x的稳定子群。

定理1. G作用在X上，则G在\(O_x\)上的作用与在齐性空间\(G/H_x\)的作用等价（作用遵循例1）。

推论2. 设G是有限群，G作用在X上，则任意一个轨道包含有限个元素，且元素个数整除\(|G|.\)
既得\(|O_x|=|G/H_x|.\)

定义4. 有限群G称为p群（p是素数），若\(|G|=p^k,k\ge 1.\)

推论3. p群G作用在有限集X上，\((|X|,p)=1.\)则X中有不动元素。
只需说明存在某个轨道\(O_x\)只有一个元素。

推论4. p群G作用在有限集X上，用t表示X中不动元素个数。则\(t \equiv |X| \pmod{p}.\)

推论5. p群必有非平凡的中心。
考虑G作用在G上的共轭变换，中心的元素构成单元素轨道。

定义5. 共轭作用下包含元素x的轨道称为x所在的共轭类，记作\(C(x)\)。
对于有限群G，我们有\(|C(x)|=|G/H_x|.\) \(H_x\)由全体与x可交换的元素组成，记作\(Z(x)\)，称为x的中心化子。

定理6. G作用在X上，\(x,y\in X\). 如果存在\(g_0,y=g_0(x)\)，那么\(H_y=g_0H_xg_0^{-1}.\)

    所属分类：抽象代数     发表于2021-10-18