二次曲面分类与直纹二次曲面

【五种常见的二次曲面】
（1）椭球面 \[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac {z^2}{c^2} = 1\]
（2）单叶双曲面 \[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac {z^2}{c^2} = 1\]
（3）双叶双曲面\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac {z^2}{c^2} = -1\]
（4）椭圆抛物面 \[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 2z\]
（5）双曲抛物面（马鞍面） \[\frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2} = 2z\]

【直纹二次曲面】
由一族直线构成的曲面称为直纹面。以上5种二次曲面中，只有单叶双曲面和双曲抛物面是直纹二次曲面。

【双曲抛物面】
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=2z\)可改写为\((\frac x a - \frac y b )(\frac x a + \frac y b)=2z.\)对任何实数c，平面\(\frac x a - \frac y b =c\)与其交线是一条直线：\[l_c:\begin{cases}\frac x a - \frac y b =c,\\c(\frac x a + \frac y b )=2z.\end{cases}\]
类似可得另一族直母线：\[l_c:\begin{cases}\frac x a + \frac y b =c,\\c(\frac x a - \frac y b )=2z.\end{cases}\]
下面给出直母线的一些性质：
1. S上每个点恰好属于两族直母线的各一条。
2. 同族直母线平行于同一平面，同族直母线异面。
3. 异族直母线相交。
4. 两族没有共同的直母线。
5. S所有直母线都在这两族中。

【单叶双曲面】
\(S: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\)可以改写为
\[(\frac x a + \frac z c) (\frac x a - \frac z c)=(1+\frac y b)(1-\frac y b)\]
所以对任意的不全为0的一对实数s,t可以构造两条直母线：
\[l_{s,t}:\begin{cases}s(\frac x a + \frac z c)=t (1+\frac y b),\\t(\frac x a - \frac z c)=s(1-\frac y b).\end{cases}\]
\[l'_{s,t}:\begin{cases}s(\frac x a + \frac z c)=t (1-\frac y b),\\t(\frac x a - \frac z c)=s(1+\frac y b).\end{cases}\]
具有如下性质：
1. S上每一点恰好属于两类中各一条。
2. S直母线都在两族中。
3. 同族直母线一定异面，任何三条同族直母线不会平行于同一平面。
4. 异族直母线共面。
5. 两族无公共直母线。

【直纹二次曲面的判定方法】
因为直纹二次曲面只有二次柱面、二次锥面、单叶双曲面和马鞍面4种，所以只需要排除其中3种即可证明是另一种。
对于后两种，可以使用以下性质差别：
1. 单叶双曲面存在平行的直母线，双曲抛物面上任两条直母线不平行；
2. 双曲抛物面的同族直母线平行于同一张平面，单叶双曲面的任何三条同族直母线不平行于同一平面。

    所属分类：几何学     发表于2021-10-24