Sylow定理

【Sylow第一定理】 设有限群G,\(|G|=n\),素数p. \(\forall 0 \le k \le v_p(n),\)G中一定有一阶为\(p^k\)的子群。
引理 \(v_p(C_n^{p^k}) = v_p(n)-k.\)
然后考虑G在所有\(p^k\)阶子群构成的集合上的平移作用。

特别地，G有\(p^l\)阶子群，\(l = v_p(n)\)。称为G的Sylow p子群。

【Sylow第二定理】 P为G的一个Sylow p子群。于是G的任意一个阶为\(p^k(k\le l )\)的子群H一定包含于某个与P共轭的子群中。
令X为P的左陪集所组成的集合，定义H在X上的作用。证明X必有不动元素。

推论1. 有限群G中任意两个Sylow p子群都共轭。

对于G中任一子群H，定义H的正规化子\(N(H)=\{g|g^{-1}Hg=H.\}\) 于是显然有\(N(H)\)是一子群且\(H \vartriangleleft N(H).\)

推论2. P为G一Sylow p子群，则\(N(N(P))=N(P),\) 且P是\(N(P)\)中唯一的Sylow p子群。

推论3. 设素数\(p|n,n=|G|.\)则G中全部Sylow p子群的个数是\(n\)的因子。
设X是G上所有Sylow p子群所成集合，定义G在X上的共轭作用，是可传递的。

【Sylow 第三定理】用k表示G中Sylow p子群的个数，则有\(k \equiv 1\pmod{p}.\)
同推论3，取P为一Sylow p子群，定义P在X上的共轭作用，证明P是唯一的不动元素。

推论4. 设\(|G|=n=p^lm,(m,p)=1,\)G中Sylow p子群个数是\(m\)的因子。

    所属分类：抽象代数     发表于2021-10-28