用不变量判断二次曲线的类型

设有二次多项式\(f(x,y)=a_{1,1}x^2+2a_{1,2}xy+a_{2,2}y^2+2b_1 x+2b_2 y + c \).定义其二次项矩阵、全项矩阵如下：
\[A_0 = \begin{bmatrix}a_{1,1} & a_{1,2}\\a_{1,2} & a_{2,2} \end{bmatrix},\]\[\overset{\sim}{A} = \begin{bmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} & b_1\\a_{1,2} & a_{2,2}&b_2\\b_1&b_2&c \end{bmatrix}.\]
规定\(F(x,y)\)的(半)不变量如下：\[I_1 = tr(A_0)=a_{1,1}+a_{2,2},\]\[I_2=|A_0|,\]\[I_3=|\overset{\sim}{A}|,\]\[K_1=a_{1,1}c-b_1^2+a_{2,2}c-b_2^2=\sum_{i=1}^2 (a_{i,i}c-b_i^2).\]
利用(半)不变量可以如下判断二次曲线的类型：
【\(I_2>0\) 椭圆型】
\(I_1I_3 <0,\)椭圆
\(I_1I_3>0,\emptyset\)
\(I_3=0,\)一点
【\(I_2<0\) 双曲型】
\(I_3 \ne 0,\)双曲线
\(I_3=0,\)一对相交直线
【\(I_2=0\) 抛物型】
\(I_3\ne 0\)抛物线
\(I_3=0\)讨论\(K_1:\)
\(K_1<0\)：一对平行直线
\(K_1=0\)：一条直线
\(K_1>0:\emptyset.\)

    所属分类：几何学     发表于2021-11-11