Lebesgue积分

【非负可测函数的积分】
首先定义非负可测简单函数的积分：设\(f(x)=\sum c_i \chi_{A_k}(x),\) 定义\[\int_E f(x)dx=\sum c_i m(E\cap A_i).\]
对于一般非负可测函数，定义\[\int_E f(x)dx = \sup_{h(x)\le f(x)} \{\int_E h(x)dx\},\]这里\(h(x)\)取遍所有满足\(h(x)\le f(x)\)的非负可测简单函数。如果此上确界有限，称\(f(x)\)可积。

基本性质：
1. 若\(E_k\nearrow E, \int_{E_k} f(x)dx \to \int_E f(x)dx.\)
2. 若可积函数\(F(x)\ge f(x)\)，则\(f(x)\)也可积。
3. 有限测度集合上的有界函数可积。
4. \(f(x)\)积分为零的充要条件是几乎处处为0.
5. 非负可积函数是几乎处处有限的。

{非负渐升列积分定理}
设非负渐升可测函数列：\(f_1(x)\le f_2(x)\le\cdots, \lim_{k\to\infty} f_k(x)=f(x).\)则有\[\lim_{k\to\infty} \int_E f_k(x)dx = \int_E f(x)dx.\]
{逐项积分定理}
\(f_k(x)\)是非负可测函数列，则\[\int_E \sum_{k=1}^{\infty} f_k(x)dx=\sum_{k=1}^{\infty} \int_E f_k(x)dx.\]
{Fatou引理}
\(f_k(x)\)是非负可测函数列，则\[\int_E \varliminf_{k\to\infty} f_k(x)dx \le \varliminf_{k\to\infty} \int_E f_k(x)dx.\]

【一般可测函数的积分】
定义：设\(f(x)\)在E上可测。若积分\(\int_E f^+(x)dx,\int_E f^-(x)dx\)有一个有限，则\(\int_E f(x)dx\)有意义；若两个都有限，则\(f(x)\)可积。

可积函数基本性质：
1. 可积函数几乎处处有限。
2. 控制函数\(g(x)\ge |f(x)|\)若可积，则\(f(x)\)可积。
3. \(\forall \epsilon >0,\exists N,\)\[\int_{|x|>N} |f(x)|dx<\epsilon.\]
4. 可积函数的积分定义域可数可加。
5. 积分的绝对连续性：\(\forall \epsilon >0, \exists \delta >0, \forall m(e)<\delta, e\subset E,\)\[|\int_ef(x)dx|\le \int_e |f(x)|dx <\epsilon.\]

{控制收敛原理}
设\(f_k\)可积，且\(\lim_{k\to\infty} f_k(x)=f(x),a.e.x\in E.\)若存在可积函数\(F(x)\ge|f_k(x)|,a.e.x \in E,\)则\[\lim_{k\to\infty}\int_E f_k(x)dx = \int_E f(x)dx.\]推论：当E测度有限时，若\(f_k(x)\)一致有界，则上述等式成立。

{依测度收敛型的控制收敛原理}
设\(f_k \in L(R^n)\)且依测度收敛于\(f(x)\).若存在可积函数\(F(x)\ge|f_k(x)|\) 则\(f(x)\in L(R^n)\)且\[\lim_{k\to\infty}\int_{R^n} f_k(x)dx = \int_{R^n} f(x)dx.\]
{逐项积分定理}
设\(f_x\in L(E),\sum_{k=1}^{\infty} \int_E f_k(x)dx <+\infty.\)则有\[ \int_E \sum_{k=1}^{\infty} f_k(x)dx = \sum_{k=1}^{\infty} \int_E f_k(x)dx \]
【可积函数与连续函数的关系】
定理：若\(f(x)\in L(E).\forall \epsilon > 0, \exists g(x)\)连续且具有紧支集，使得\[\int_E|f(x)-g(x)|dx<\epsilon.\]推论1. \(f\in L(E)\). 存在具有\(R^n\)上紧支集的连续函数列\(g_k(x)\)使得：
(i) \(\lim_{k\to\infty} \int_E |g_k(x)-f(x)|dx =0;\)
(ii) \(g_k(x) \to f(x), a.e. x \in E.\)

推论2. \(f\in L(E).\forall \epsilon>0,\)可以分解\(f(x)=f_1(x)+f_2(x),\)其中\(f_1(x)\)是具有紧支集的连续函数，\(|f_2(x)|\)的积分小于\(\epsilon.\)

推论3. \(f\in L(E)\). 存在具有\(R^n\)上紧支集的阶梯函数列\(g_k(x)\)使得：
(i) \(\lim_{k\to\infty} \int_E |g_k(x)-f(x)|dx =0;\)
(ii) \(g_k(x) \to f(x), a.e. x \in E.\)

平均连续性. \(f\in L(R^n).\)则有\[\lim_{h\to 0} \int_{R^n} |f(x+h)-f(x)|dx = 0.\]

    所属分类：实变函数     发表于2021-11-16