商域和分式环

用整数构造有理数的方法，可以推广到整环上。
【定义】设R是整环。域F称为R的商域，如果满足：
1. R是F的子环；
2. F中每个元素a都可以表示为\(a=\frac b c , c\ne 0,b,c\in R.\)

【定理】每个整环都有一个商域，且在同构意义下唯一。
事实上，只需在\(T=R\times R^*,R^*=R-\{0\}\)上定义等价关系\(\sim : (a,b)\sim (c,d)\Leftrightarrow ad=bc\)，再作商集\(F=T/\sim\)即可。至于唯一性，可由以下定理推出：

【定理】设R为整环，F为其一商域，\(\eta: R \to F'\)为单一同态，F'为域。则\(\eta\)可唯一扩充成\(F\to F'\)的单一同态。

下面对整环作商域的方法进行推广，放弃无零因子的条件。
定义R的一个非空子集S如果对乘法运算封闭，称S为一个乘性子集。乘性子集S确定了R的一个理想\(N=\{a\in R| \exists s\in S ,as=0\}\). 如果\(0\notin S\),则\(S \cap N = \emptyset.\)

【定义】设R是交换幺环，S为R的乘性子集，N如上定义。如果有一个交换幺环R'满足如下条件：
1. 存在环同态\(\sigma : R\to R',\sigma(1_R)=1_{R'}\)，且\(\forall s \in S, \sigma(s)\)在R'中有逆；
2. \(ker(\sigma) = N\);
3. R'中每个元素\(x = \frac {\sigma(a)}{\sigma(s)}, a\in R, s\in S\).
则称R'为R关于乘性子集S的分式环。

如果S中有0，则N=R，R'={0}. 下设S中无0.

【定理】设R为交换幺环，乘性子集\(0\notin S.\)则R关于S的分式环存在，且同构意义下唯一，记为\(S^{-1}R\)。

    所属分类：抽象代数     发表于2021-11-25