多项式环与多项式函数

【交换环上的多项式环】
下面假定R为交换幺环。若R是R'的子环且\(1_R = 1_{R'}\),称R'是R的扩环。
任取\(u \in R',R[u]=\{a_0+a_1 u + \cdots a_n u ^n |a_i \in R, 0\le 0 < \infty \}\)构成一子环，称作\(u\)在\(R\)上生成的子环，其中的元素称作\(u\)在\(R\)上的多项式。
如果u的一个多项式\(f(u)=0\)，称作u在R上的一个代数关系。

定义1. R为交换幺环，令\(R[[x]]=\{(a_n)=(a_0 , a_1, a_2 , \cdots )|a_i \in R\}\)形成一环，称作R的一元形式幂级数环。
\(R[[x]]\)有一个单位元\(1=(1,0,\cdots)\)，可知\(R\cong R_0 =\{(a_0,0,\cdots)|a_0 \in R\}.\)因此R[[x]]可以视为R的扩环。于是以下定义有意义。

定义2. R[[x]]中取\(x = (0,1,0,\cdots )\)，则x在R上生成的子环\(R[x]\)叫做R上的一元多项式环。x叫做R上的一个未定元。

以下定理说明：有一个元素生成的环，总是多项式环的同态像。
定理1. 设\(\sigma\)为环R到环S的同态，且\(1_R = 1_S.\) 则\(\forall u \in S ,\sigma\)可唯一扩充成\(R[x]\to S\)的同态\(\sigma_u\)，满足\(\sigma_u(x)=u.\)
推论2. 设S为R的扩环且\(1_R = 1_S.\) 则\(\forall u \in S ,\exists R[x]\)的理想\(I\)使得\[R[u]\cong R[x]/I, I \cap R = \{0\}.\]
事实上，\(I\)是u在R上的代数关系之总和。如果\(I=(0)\)，称u在R上是超越的（超越元），否则\(\exists f(x) \ne 0,f(u)=0\),称u在R上是代数的（代数元），同时也称u是\(f(x)\)的根。

推广多元多项式上，我们归纳定义\(R[x_1,\cdots , x_n ] = R[x_1,\cdots , x_{n-1}][x_n]\),称为R上n个未定元\(x_1,\cdots , x_n\)的多项式环。
对于\(R'\)中的n个元素\(u_1,\cdots , u_n\), \(x_i\)用\(u_i\)代入得\(R[u_1,\cdots , u_n]=\{f(u_1,\cdots , u_n)|f\in R[x_1,\cdots , x_n ]\}\)是R'的子环，其中的元素称为\(u_1,\cdots , u_n\)在R上生成的子环，一般叫做R上的有限生成环。

一般地，我们有如下结论：
定理3. \(\sigma:R\to S\)是两个交换幺环之间的同态，且单位元映为单位元。给定\(u_1,\cdots , u_n\in S\), 则\(\sigma\)可以唯一扩充成\(\sigma_n:R[x_1,\cdots , x_n]\to S, \sigma_n(x_i)=u_i.\)
推论4. 在定理3条件下，若S为R的扩环，则存在唯一同态\(\sigma = \sigma_n\)，使得\(\sigma |_R = id.\) 令\(I=ker(\sigma)\)，则\[R[x_1,\cdots ,x_n]/I\cong R[u_1,\cdots , u_n];I\cap R = \{0\}.\]
与一元的情况类似，我们有\(u_1,\cdots , u_n\)代数相关/代数无关的概念。
推论5. 设N为R的理想。令\(\overline{R}=R/N, \overline{R}[y_1,\cdots,y_n]\)为\(\overline{R}\)上n个未定元\(y_1,\cdots,y_n\)的多项式环。则\[R[x_1,\cdots,x_n]/N[x_1,\cdots,x_n]\cong \overline{R}[y_1,\cdots,y_n].\]只需要对自然同态进行扩充即可。

【整环上的一元多项式环】
定理6. 设R是整环。多元多项式环\(R[x_1,\cdots,x_n]\)是整环，且其单位群与R的单位群相同。
定理7.（带余除法） 设R为交换幺环，\(f(x),g(x) \in R[x],g(x)\ne 0,g(x)\)的首系数为单位（可逆）。则存在唯一一对\(q(x),r(x)\in R[x]\)使得\[f(x)=q(x)g(x)+r(x),deg\ r(x) < deg\ g(x).\]
推论8. \(f(x)\in R[x],c\in R.\)则有表式\(f(x)=q(x)(x-c)+f(c).\)
推论9. \(c\in R,f(x)\in R[x]. (x-c)|f(x)\Leftrightarrow f(c)=0.\)

定理10. 在整环R中，n次多项式至多有n个根。
定理中，交换性和无零因子的条件是必要的。反例：\(f(x)=x^2+1,x\in H;g(x)=x^2-1,x\in Z/(8).\)

定理11. 设R为整环，定义\(R^*=R-\{0\}.\)则\(R^*\)的任一有限子群都是循环群。
推论12. 含有q个元素的有限域F中，\(F^*\)是有q-1个元素的循环群，且F恰好是\(x^q-x=0\)的全部根。

定义. 如果整环R满足其任一理想皆为主理想，则称R为主理想整环，简称PID.
定理13. 域上的一元多项式环是PID.

设域F的交换扩环S有相同单位元。设\(u\in S\)为F上的代数元，则\(F(x)/N\cong F(u).\)于是\(N=(f(x))\)由一个首1多项式生成，称其为u在F上的极小多项式。于是\(g(u)=0\Leftrightarrow f(x)|g(x).\)
定理14. F为域，\(f(x)\in F[x],deg\ f\ge 1.\) 以下命题等价：
1. \(f(x)\)不可约；
2. 理想\(f(x)\)为极大理想；
3. \(F(x)/(f(x))\)为一域；
4. \(F(x)/(f(x))\)为一整环；
5. 理想\(f(x)\)为素理想。
推论15. 设S为域F的交换扩环且单位元相同，\(u\in S\)为F的代数元，则以下命题等价：
1. u在F上的极小多项式不可约；
2. \(F[u]\)为一域；
3. \(F[u]\)为一整环.
推论16. S为一整环，且包含子域F。如果S的每个元素都是F的代数元，则S为一域。

【多项式函数】
定义. 设F为域。则映射\(f:F\to F\)称作F上一个函数，构成一交换环\(F^F.\)其中乘法遵循函数乘法而非复合。将F中元素与常函数相对应，可知F为\(F^F\)的子域。于是恒等函数s在F上生成子环\(F[s]\)，其中的元素叫做F的多项式函数。

定理17.
(1)当F为无限域时，\(F[s]\cong F[x],\)s在F上是超越的；
(2)当F为q元有限域时，\(F[s]\cong F[x]/I,I=(x^q-x),\)且有\(F^F = F[s].\)

对于多元的情况也有类似的结论。
定理18. \(S=F\times \cdots \times F = F^{(n)}, s_i ((a_1,\cdots , a_n))=a_i.\)
(1)当F为无限域时，\(F[s_1,\cdots ,s_n]\cong F[x_1,\cdots ,x_n],s_1,\cdots ,s_n\)在F上是代数无关的；
(2)当F为q元有限域时，\(F[s_1,\cdots ,s_n]\cong F[x_1,\cdots ,x_n]/I,I=(x_1^q-x_1,\cdots ,x^q_n-x_n)\)且有\(F^{F(n)} = F[s_1,\cdots ,s_n].\)

    所属分类：抽象代数     发表于2021-11-25