导数的应用

【微分中值定理】
1. Fermat定理
若\(x_0\)是\(f(x)\)的极值点且在该点导数存在，则\(f'(x_0)=0.\)

2. Rolle定理
设\(f(x)\in C[a,b],D(a,b).f(a)=f(b).\)则存在\(\zeta \in (a,b),f'(\zeta)=0.\)

3. Lagrange定理
设\(f(x)\in C[a,b],D(a,b).\)则存在\(\zeta \in (a,b),\)\[f'(\zeta)=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}.\]
推论：导数有界的函数一致连续；反之未必成立\((f(x)=x^{\alpha},\alpha\in(0,1)).\)

4. Cauchy定理
设\(f(x),g(x)\in C[a,b],D(a,b),g'(x)\ne 0.\)则\(\exists \zeta \in (a,b),\)\[\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\zeta)}{g'(\zeta)}.\]

【洛必达法则】
\(\frac 0 0 \)型不定式
设\(f(x),g(x) \in D(U_0(a,\delta))\)，且满足：
1. \(\lim_{x\to a}f(x) = \lim_{x\to a} g(x) = 0\);
2. \(g'(x)\ne 0\);
3. \(\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = l,l \in \bar{R}.\)
则有\[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = l.\]
对\(a\to \pm\infty\)和\(\frac{\infty}{\infty}\)等情况也有类似结论。

【泰勒公式】
1. Peano余项
设\(f(x)\)在\(x_0\)处具有n阶导数。\[f(x)=f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0)+\cdots +\frac {f^{(n)} (x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\]\[o((x-x_0)^n)\ (x\to x_0).\]
2. Lagrange余项
设\(f(x) \in C^n [a,b],D^{n+1}(a,b).\forall x,x_0 \in [a,b],\)\[f(x)=f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0)+\cdots +\frac {f^{(n)} (x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\]\[\frac {f^{(n+1)} (\zeta)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} ,\zeta \in (x,x_0).\]
附：常见展开式
\[e^x = 1+x +\frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac {x^n}{n!}+\frac{e^{\theta x}}{(n+1)!}x^{n+1}.\] \[\sin x = x -\frac{x^3}{3!} + \cdots + (-1)^{n-1} \frac {x^{2n-1}}{(2n-1)!}+(-1)^n \frac{\cos {\theta x}}{(2n+1)!}x^{2n+1}.\]\[\cos x = 1 -\frac{x^2}{2!} + \cdots + (-1)^{n} \frac {x^{2n}}{(2n)!}+(-1)^{n+1} \frac{\cos {\theta x}}{(2n+2)!}x^{2n+2}.\] \[\ln (1+x) = x - \frac{x^2}{2} +\cdots +(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+(-1)^n\frac{x^{n+1}}{(n+1)(1+\theta x)^{n+1}}\] \[(1+x)^{\alpha} = 1+\alpha x + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2!}x^2 + \cdots + \] \[\frac{\alpha(\alpha -1)\cdots (\alpha - n +1)}{n!}x^n + \frac{\alpha(\alpha -1)\cdots (\alpha - n) }{(n+1)!}(1+\theta x)^{\alpha - n - 1}x^{n+1}\]
【利用导数研究函数】
{达布定理} 导函数具有介值性。
定义 凸函数：\(\forall x_1,x_2\in I,\forall t \in (0,1),\)\[f(tx_1+(1-t)x_2)\le tf(x_1)+(1-t)f(x_2).\]
等价定义：\(\forall x_1\le x_3\le x_2,\)成立\[\frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1}\le \frac{f(x_2)-f(x_3)}{x_2-x_3}.\]
定理. 如果\(f(x)\in C[a,b],D(a,b),\)则\(f(x)\)是凸函数对充要条件是\(f'(x)\)单调递增。
定义. 改变函数凹凸性的点称为拐点。
定理. 若\(f(x)\)二阶可导，则在拐点二阶导数为0；若\(f''(x_0)=0,f'''(x_0)\ne 0,\)则\(x_0\)是拐点。

    所属分类：数学分析     发表于2021-11-27