圆锥曲线的仿射特征

先约定一些记号。设\(F(x,y)\)的全项矩阵为\[A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&b_1\\a_{12}&a_{22}&b_2\\b_1&b_2&c\end{bmatrix}.\]\[F_1(x,y)=a_{11}x+a_{12}y+b_1,\]\[F_2(x,y)=a_{21}x+a_{22}y+b_2,\]\[F_3(x,y)=b_1 x+b_2 y +c.\]则有\(F(x,y)=xF_1(x,y)+yF_2(x,y)+F_3(x,y).\)

【直线与二次曲线的相交情况】
设直线\(l:\vec{u}(m,n),M_0(x_0,y_0).\)只需考虑关于参数t的二次方程解的个数\[\Phi(m,n)t^2+2[mF_1(x_0,y_0)+nF_2(x_0,y_0)]t +F(x_0,y_0)=0.\]
【中心】
如果点\(M_0(x_0,y_0)\)满足\[F_1(x_0,y_0)=F_2(x_0,y_0)=0\]称为曲线的中心。
【渐进方向】

如果非零向量\(\vec{u}(m,n),\Phi(m,n)=0\)称其代表的直线方向为曲线的渐进方向。

【抛物线的开口朝向】
由以上定义知\((a_{12},-a_{11})\)或\((a_{22},-a_{12})\)可以为抛物线的渐进方向（对称轴）。
\(\vec{u}(m,n)\)为抛物线开口朝向的充要条件是\(I_1(b_1m+b_2n)<0.\)

【直径】
取定非零向量\(\vec{u}(m,n)\)不代表渐进方向。则直线\(l_u : mF_1(x,y)+nF_2(x,y)=0\)称为u代表的方向关于曲线的共轭直径。曲线上平行于u的弦的中点都在\(l_u\)上。

【共轭】
如果两个非零向量\(\vec u ,\vec u'\)满足\[\vec{u}^t A_0 \vec{u}'=0\]称它们代表的直线方向共轭。
如果两条直径的方向共轭，称其为一对共轭直径。

【切线】
根据交点方程的判别式，\(l:M_0(x_0,y_0),\vec{u}(m,n)\)是切线的充要条件是\[\Phi(m,n)\ne 0,\]\[\Phi(m,n)F(x_0,y_0)=[mF_1(x_0,y_0)+nF_2(x_0,y_0)]^2.\]
对于曲线上一点\(M_0(x_0,y_0)\)，过它的切线方程是\[xF_1(x_0,y_0)+yF_2(x_0,y_0)+F_3(x_0,y_0)=0.\]

    所属分类：几何学     发表于2021-11-30