可分扩张

首先给出有关可分性的定义。
定义. (1)不可约多项式\(p(x)\in F[x]\)称为F上的可分多项式，若p(x)在其分裂域内只有单根。
(2)一般的正次数多项式称为在F上可分的，若其每个不可约因式在F上都是可分的。
(3)设K/F为一代数扩张，\(a\in K.\)若a在F上极小多项式是可分的，称a为F上可分元素。
(4)一个代数扩张称为可分扩张，若每个元素都是可分元素。

可分性与根的重数密切相关。先证明几个引理。

引理1. 设\(f(x) \in F[x],x=a\)是分裂域K内的k(≥1)重根。令c为F的特征。
(1)\(c\nmid k.\)则x=a恰好是\(f'(x)\)的k-1重根。
(2)\(c|k.\)则x=a至少是\(f'(x)\)的k重根。

定理1. 正次数多项式\(f(x) \in F[x]\)在其分裂域内无重根的充要条件是\[(f(x),f'(x))=1.\]
推论1. 不可约多项式\(p(x) \in F[x]\)在其分裂域内有重根的充要条件是\(p'(x)=0.\)
推论2. 在特征为0的域上，不可约多项式都是可分的，从而任何代数扩张都是可分扩张。

对于特征为p的域，如果有一个不可分的不可约多项式\[f(x)=a_n x^n+\cdots+a_0,\]则\(f'(x)=0\)，从而次数不是p的倍数的项一定为0，可以写成\[f(x) = a_0 + a_px^p+\cdots +a_{mp}x^{mp}.\]重复此操作，使得\(f(x)\)最终写成\(\psi(x^{p^e}),e\ge 1\)，且\(\psi\)是可分的。由此推出：
推论. 特征为p的域上一个不可分的不可约多项式的每个根具有相同的重数，且重数为p的方幂。
这里我们用到了一个恒等式\((a+b)^p=a^p+b^p,\) 从而推出\(x^{p^e}-a=(x-a)^{p^e}.\)事实上，对F中任一个多项式f(x)都有\(f^p(x)=f(x^p).\)

下面给出一个不可分的不可约多项式的例子。令\(F_p=Z/(p),F=F_p(t)\)为一元多项式环的商域，在\(F[x]\)内取\(f(x) = x^p-t\)，我们说明这是一个不可约多项式；然后因为\(f'(x) = 0,\)故其有重根，从而是不可分的。
只需证明如下引理：
若F是特征为p的域，\(a\in F.\)
(1)a在F内可以开p次方，则\(x^p - a = (x-b)^p.\)
(2)a不能开p次方，则\(x^p - a\)不可约。进一步，因为其导数等于0，根据推论1，\(x^p - a\)不可分。

    所属分类：抽象代数     发表于2021-12-13